Questão 5: Dada uma função: R^2 em R (x,y) -> f(x,y). Provar que Duf = <gradiente . Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que, dada uma função que possui derivadas parciais de primeira ordem, a derivada direcional de na direção de um vetor é igual ao produto interno (ou produto escalar) entre o gradiente de e o vetor . Vamos precisar entender o que é derivada direcional e gradiente para chegar nessa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de em uma direção é basicamente a taxa de variação de quando nos movemos na direção desse vetor. Matematicamente, é definida como:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de , denotado por , é um vetor que reúne todas as derivadas parciais de . Para a função , o gradiente é:

Passo 4

O próximo passo é entender o produto interno (ou escalar) entre o gradiente e o vetor . O produto interno entre dois vetores e é calculado assim:
Então, temos:

Passo 5

Vamos agora ligar tudo isso para provar que . Utilizando a definição de derivada direcional:
Expande-se utilizando a aproximação de Taylor para funções diferenciáveis:
Substituindo na definição da derivada direcional:

Resposta

Portanto, provamos que a derivada direcional de na direção de é igual ao produto interno entre o gradiente de e , ou seja:

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