Questão 5: Dada uma função: R^2 em R (x,y) -> f(x,y). Provar que Duf = <gradiente
. Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que, dada uma função
que possui derivadas parciais de primeira ordem, a derivada direcional de
na direção de um vetor
é igual ao produto interno (ou produto escalar) entre o gradiente de
e o vetor
. Vamos precisar entender o que é derivada direcional e gradiente para chegar nessa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de
em uma direção
é basicamente a taxa de variação de
quando nos movemos na direção desse vetor. Matematicamente, é definida como:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que reúne todas as derivadas parciais de
. Para a função
, o gradiente é:
Passo 4
O próximo passo é entender o produto interno (ou escalar) entre o gradiente e o vetor
. O produto interno entre dois vetores
e
é calculado assim:
Então, temos:
Passo 5
Vamos agora ligar tudo isso para provar que
. Utilizando a definição de derivada direcional:
Expande-se
utilizando a aproximação de Taylor para funções diferenciáveis:
Substituindo na definição da derivada direcional:
Resposta
Portanto, provamos que a derivada direcional de
na direção de
é igual ao produto interno entre o gradiente de
e
, ou seja:
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vezes a massa envolvida pela superficie, onde
é a constate gravitacional. A equação matemática da Lei é dada por
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através do hemisfério superior da esfera unitária.
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Seja
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. Prove que a área de
é dada por