Calcule o fluxo do campo vetorial
(b) , e é a parte do cone com com o vetor normal na direção .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma parte de um cone definida por , onde e . O vetor normal está na direção de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial, como parametrizar a superfície, calcular o vetor normal e então integrar o campo vetorial sobre a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

A próxima etapa é parametrizar a superfície . Já temos a parametrização fornecida:
com e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes �� superfície, que são as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Em seguida, calculamos o vetor normal através do produto vetorial desses vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto:
Calculando o determinante:
Como :

Passo 6

Como o vetor normal deve estar na direção de , já está adequado, pois a componente é positiva.
Agora, precisamos calcular a magnitude do vetor normal para obter . A magnitude de é:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos substituir tudo na integral de fluxo:
Mas como já consideramos , a integral fica:
Substituindo e , , temos:
Então,

Passo 8

Agora, nossa integral de fluxo fica:
Com os limites de integração e .

Passo 9

Vamos integrar primeiro em :

Passo 10

Para resolver , usamos a identidade :
Aplicando os limites de a :

Passo 11

Voltando à integral original:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

Exercícios relacionados

Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(b) constante.
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(d) cilindro circular com ;
Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(a) cte .
Calcule o fluxo do campo vetorial
(a) para fora da superfície ;