Calcule o fluxo do campo vetorial
(b) , e é a parte do cone com com o vetor normal na direção .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma parte de um cone definida por , onde e . O vetor normal está na direção de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial, como parametrizar a superfície, calcular o vetor normal e então integrar o campo vetorial sobre a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
A próxima etapa é parametrizar a superfície . Já temos a parametrização fornecida:
com e .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes �� superfície, que são as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 5
Em seguida, calculamos o vetor normal através do produto vetorial desses vetores tangentes:
Vamos calcular esse produto:
Calculando o determinante:
Como :
Passo 6
Como o vetor normal deve estar na direção de , já está adequado, pois a componente é positiva.
Agora, precisamos calcular a magnitude do vetor normal para obter . A magnitude de é:
Então, .
Passo 7
Agora, vamos substituir tudo na integral de fluxo:
Mas como já consideramos , a integral fica:
Substituindo e , , temos:
Então,
Passo 8
Agora, nossa integral de fluxo fica:
Com os limites de integração e .
Passo 9
Vamos integrar primeiro em :
Passo 10
Para resolver , usamos a identidade :
Aplicando os limites de a :
Passo 11
Voltando à integral original:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é .