Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(a) cte .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície definida em coordenadas esféricas pela equação , onde é uma constante. Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas e fazer um gráfico aproximado dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas :
Essas fórmulas nos permitem converter de um sistema de coordenadas para o outro.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada . Isso significa que a distância do ponto até a origem é sempre , independente dos ângulos e . Em outras palavras, todos os pontos estão a uma distância fixa da origem.

Passo 4

Para converter essa equação para coordenadas cartesianas, usamos a relação que liga com :
Substituindo por :

Passo 5

Vamos agora eliminar a raiz quadrada elevando os dois lados da equação ao quadrado:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 6

Reconhecemos que é a equação de uma esfera com raio centrada na origem .

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é:
Essa é a equação de uma esfera de raio centrada na origem.

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Calcule o fluxo do campo vetorial
(b) , e é a parte do cone com com o vetor normal na direção .
Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(b) constante.
Calcule o fluxo do campo vetorial
(a) para fora da superfície ;
Mostrar que e dadas por
ã
são duas parametrizações do paraboloide elíptico .