Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(a) cte .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície definida em coordenadas esféricas pela equação , onde é uma constante. Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas e fazer um gráfico aproximado dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas :
Essas fórmulas nos permitem converter de um sistema de coordenadas para o outro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada . Isso significa que a distância do ponto até a origem é sempre , independente dos ângulos e . Em outras palavras, todos os pontos estão a uma distância fixa da origem.
Passo 4
Para converter essa equação para coordenadas cartesianas, usamos a relação que liga com :
Substituindo por :
Passo 5
Vamos agora eliminar a raiz quadrada elevando os dois lados da equação ao quadrado:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cartesianas.
Passo 6
Reconhecemos que é a equação de uma esfera com raio centrada na origem .
Resposta
A equação em coordenadas cartesianas é:
Essa é a equação de uma esfera de raio centrada na origem.