Seja Q uma carga elétrica localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, a força elétrica F exercida por essa carga sobre uma carga q localizada no ponto (x, y, z) com vetor posição X é ε q Q / ||x||^3 X, onde varepsilon é uma constante. Considere a força por unidade de carga:
E(X) = 1/q F(X) = epsilon Q / ||x||^3 X = epsilon Q(x, y, z) / (x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)
chamada de campo elétrico de Q . Mostre que o fluxo elétrico de E é igual a 4 * pi * epsilon * Q, através de qualquer superfície fechada S que contenha a origem, com normal n apontando para fora de S. Essa é a Lei de Gauss para uma carga simples.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma carga elétrica Q localizada na origem e queremos calcular o fluxo elétrico do campo elétrico E através de qualquer superfície fechada S que envolve a origem. O conteúdo envolve a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico, como aplicar a integral de superfície e usar a simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico Φ através de uma superfície S é dado por:
onde E é o campo elétrico, n é o vetor normal à superfície S e dS é um elemento de área na superfície.

Passo 3

Nosso campo elétrico E é dado por:
Podemos reescrever isso em termos de coordenadas esféricas para facilitar a integração, já que a simetria do problema é esférica (a carga está na origem e a superfície S pode ser qualquer superfície fechada ao redor dela).

Passo 4

Em coordenadas esféricas, um ponto P é definido por (r, θ, φ), onde r é a distância do ponto à origem, θ é o ângulo polar e φ é o ângulo azimutal. O vetor posição X pode ser escrito como:
onde \hat{r} é o vetor unitário na direção radial.

Passo 5

Substituindo na expressão do campo elétrico, temos:
Isso simplifica muito a expressão, já que agora o campo elétrico depende apenas de r e está na direção radial.

Passo 6

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico Φ:
Como E está na direção radial e n também aponta para fora (direção radial), o produto escalar E · n simplifica para |E|.

Passo 7

Então, a integral fica:
Como a superfície S é qualquer superfície fechada que envolve a origem, podemos assumir sem perda de generalidade que S é uma esfera de raio r. Assim, a área da superfície S é:

Passo 8

Substituindo na integral, temos:
Aqui, usamos que a integral da área de uma esfera é , cancelando os e deixando apenas .

Resposta

O fluxo elétrico de E através de qualquer superfície fechada S que contém a origem é igual a .

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