Seja Q uma carga elétrica localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, a força elétrica
exercida por essa carga sobre uma carga
localizada no ponto
com vetor posição
é
, onde
é uma constante. Considere a força por unidade de carga:
chamada de campo elétrico de Q . Mostre que o fluxo elétrico de E é igual a
, através de qualquer superfície fechada
que contenha a origem, com normal
apontando para fora de S. Essa é a Lei de Gauss para uma carga simples.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma carga elétrica Q localizada na origem e queremos calcular o fluxo elétrico do campo elétrico E através de qualquer superfície fechada S que envolve a origem. O conteúdo envolve a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico, como aplicar a integral de superfície e usar a simetria do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico Φ através de uma superfície S é dado por:
onde E é o campo elétrico, n é o vetor normal à superfície S e dS é um elemento de área na superfície.
Passo 3
Nosso campo elétrico E é dado por:
Podemos reescrever isso em termos de coordenadas esféricas para facilitar a integração, já que a simetria do problema é esférica (a carga está na origem e a superfície S pode ser qualquer superfície fechada ao redor dela).
Passo 4
Em coordenadas esféricas, um ponto P é definido por (r, θ, φ), onde r é a distância do ponto à origem, θ é o ângulo polar e φ é o ângulo azimutal. O vetor posição X pode ser escrito como:
onde \hat{r} é o vetor unitário na direção radial.
Passo 5
Substituindo na expressão do campo elétrico, temos:
Isso simplifica muito a expressão, já que agora o campo elétrico depende apenas de r e está na direção radial.
Passo 6
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico Φ:
Como E está na direção radial e n também aponta para fora (direção radial), o produto escalar E · n simplifica para |E|.
Passo 7
Então, a integral fica:
Como a superfície S é qualquer superfície fechada que envolve a origem, podemos assumir sem perda de generalidade que S é uma esfera de raio r. Assim, a área da superfície S é:
Passo 8
Substituindo na integral, temos:
Aqui, usamos que a integral da área de uma esfera é
, cancelando os
e deixando apenas
.
Resposta
O fluxo elétrico de E através de qualquer superfície fechada S que contém a origem é igual a
.