Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(b) varphi = k, k in (0, pi/2] constante.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma superfície definida em coordenadas esféricas pela equação , onde k é uma constante no intervalo . Nosso objetivo aqui é transformar essa equação para coordenadas cartesianas e depois fazer um gráfico aproximado desse resultado. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como se convertem as coordenadas esféricas (r, theta, phi) para as cartesianas (x, y, z). As fórmulas de conversão são:
Como nessa equação phi é constante ( ), vamos substituir phi por k nessas fórmulas.

Passo 3

Com , as equações ficam:
Agora, observamos que podemos eliminar r das equações. Dividindo as duas primeiras equações por x e y respectivamente, obtemos:
Isso sugere que theta pode variar livremente, o que indica que a superfície tem simetria em torno do eixo z. Além disso, da terceira equação, temos . Substituindo isso nas primeiras duas equações:
Agora, elevando ao quadrado e somando as duas equações:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Finalmente, podemos reescrever a equação obtida para ficarmos claros:
Essa é a equação em coordenadas cartesianas que corresponde à superfície dada por em coordenadas esféricas.

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é:
Essa equação representa um cone com abertura determinada pelo ângulo k.

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