Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(d) cilindro circular com ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever as parametrizações e calcular o vetor normal de um cilindro circular dado pela equação com . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente sobre parametrizações de superfícies e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de uma superfície. Basicamente, é uma maneira de descrever todos os pontos dessa superfície usando parâmetros. No caso do cilindro circular , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no cilindro pode ser descrito por:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência, e varia de a para cobrir a altura do cilindro.
Passo 3
Agora que temos a parametrização, vamos calcular o vetor normal à superfície. O vetor normal é um vetor que é perpendicular à superfície em cada ponto. Para encontrar esse vetor, precisamos usar as derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros.
Nossa parametrização é:
Vamos calcular as derivadas parciais em relação a e :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal através do produto vetorial dessas derivadas parciais:
Calculando o produto vetorial:
Esse é o vetor normal à superfície do cilindro.
Resposta
A parametrização do cilindro é com e . O vetor normal associado à superfície é .