Calcule o fluxo de F(x, y, z) = (y^2 + z^2, x, x), através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto (4, 1, 0) a (2, 4, 0) em torno do eixo x, onde o vetor n tem componente i não negativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (y^2 + z^2, x, x) através de uma superfície de revolução. Essa superfície é formada girando o segmento de reta que liga os pontos (4, 1, 0) e (2, 4, 0) em torno do eixo x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quão “forte” o campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é representado por:
onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície de revolução. Como estamos girando o segmento de reta em torno do eixo x, é útil usar coordenadas cilíndricas. Vamos considerar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para percorrer o segmento de reta de (4, 1, 0) a (2, 4, 0).
Podemos expressar as coordenadas do segmento como:

Passo 4

Ao girar esse segmento em torno do eixo x, usamos um ângulo de rotação theta que varia de 0 a . Então, as equações paramétricas da superfície ficam:

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal n. Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções t e theta:
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Como queremos que a componente i seja não negativa, mantemos a direção desse vetor.

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :
Substituindo y e z das parametrizações:
Então:

Passo 7

Finalmente, configuramos a integral de fluxo:
Calculando essa integral, obtemos o valor final do fluxo.

Resposta

Após realizar os cálculos, o fluxo através da superfície de revolução é igual a .

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