Calcule o fluxo de , através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto a em torno do eixo , onde o vetor tem componente não negativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície de revolução. Essa superfície é formada girando o segmento de reta que liga os pontos e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quão “forte” o campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é representado por:
onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a superfície de revolução. Como estamos girando o segmento de reta em torno do eixo , é útil usar coordenadas cilíndricas. Vamos considerar um parâmetro que varia de 0 a 1 para percorrer o segmento de reta de a .
Podemos expressar as coordenadas do segmento como:

Passo 4

Ao girar esse segmento em torno do eixo , usamos um ângulo de rotação que varia de 0 a . Então, as equações paramétricas da superfície ficam:

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal . Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções e :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Como queremos que a componente seja não negativa, mantemos a direção desse vetor.

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :
Substituindo e das parametrizações:
Então:

Passo 7

Finalmente, configuramos a integral de fluxo:
Calculando essa integral, obtemos o valor final do fluxo.

Resposta

Após realizar os cálculos, o fluxo através da superfície de revolução é igual a .

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Calcule , onde
e , com exterior.
Calcule , onde
e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte da esfera , que fica acima do plano .
Seja a superfície de equação . Sabendo-se que a área de vale , determine o valor de .