Calcule o fluxo de , através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto a em torno do eixo , onde o vetor tem componente não negativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície de revolução. Essa superfície é formada girando o segmento de reta que liga os pontos e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quão “forte” o campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é representado por:
onde é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a superfície de revolução. Como estamos girando o segmento de reta em torno do eixo , é útil usar coordenadas cilíndricas. Vamos considerar um parâmetro que varia de 0 a 1 para percorrer o segmento de reta de a .
Podemos expressar as coordenadas do segmento como:
Passo 4
Ao girar esse segmento em torno do eixo , usamos um ângulo de rotação que varia de 0 a . Então, as equações paramétricas da superfície ficam:
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal . Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções e :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Como queremos que a componente seja não negativa, mantemos a direção desse vetor.
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar :
Substituindo e das parametrizações:
Então:
Passo 7
Finalmente, configuramos a integral de fluxo:
Calculando essa integral, obtemos o valor final do fluxo.
Resposta
Após realizar os cálculos, o fluxo através da superfície de revolução é igual a .