Seja S a superfície de equação 2z = x^2 + y^2, 0 <= z <= k, k > 0. Sabendo-se que a área de S vale 14 pi / 3, determine o valor de k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida pela equação limitada por , onde . A área dessa superfície é dada como e queremos descobrir o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação representa um paraboloide. Para calcular a área dessa superfície, usamos a fórmula de área para superfícies dadas por :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares onde e . Assim, e . A área fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , então:

Passo 6

Agora, integrate em relação a :

Passo 7

Sabendo que a área , igualamos as duas expressões:
Simplificando:

Passo 8

Elevando ambos os lados à potência :

Resposta

O valor de é .

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