Seja
a superfície de equação
. Sabendo-se que a área de
vale
, determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície
definida pela equação
limitada por
, onde
. A área dessa superfície é dada como
e queremos descobrir o valor de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação
representa um paraboloide. Para calcular a área dessa superfície, usamos a fórmula de área para superfícies dadas por
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares onde
e
. Assim,
e
. A área fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Passo 6
Agora, integrate em relação a
:
Passo 7
Sabendo que a área
, igualamos as duas expressões:
Simplificando:
Passo 8
Elevando ambos os lados à potência
:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte da esfera
, que fica acima do plano
.
Calcule o fluxo de
, através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto
a
em torno do eixo
, onde o vetor
tem componente
não negativa.
Calcule
, onde
e
é a região triangular com vértices
e
.
Calcule a massa da superfície
parte do plano
dentro do cilindro
, sendo a densidade dada por
.