Calcule , onde
e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície . Essa superfície é o triângulo formado pelos pontos , e . O vetor normal à superfície deve ter a componente não negativa. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como a integral de superfície e o cálculo do vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é um triângulo no espaço tridimensional com vértices nos pontos dados. Para calcular a integral de superfície, precisamos achar uma parametrização dessa superfície ou encontrar uma maneira de expressar .

Passo 3

Como a superfície é plana, podemos encontrar uma equação para o plano que passa pelos três pontos. Vamos usar os pontos , e para determinar essa equação.

Passo 4

Para achar a equação do plano, precisamos de dois vetores que estão na superfície. Vamos calcular:
  • Vetor de para :
  • Vetor de para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 6

Vamos normalizar o vetor normal para facilitar os cálculos. A normal unitaria é:
Como queremos que a componente seja não negativa, estamos de acordo com essa normalização.

Passo 7

A integral de superfície pode ser simplificada usando o fato de que , onde é a área do triângulo.

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 9

Agora, precisamos integrar sobre a área do triângulo. Observando os limites, podemos parametrizar o triângulo onde , , são positivos e .

Passo 10

Podemos usar coordenadas barycentricas ou ajustar os limites de integração. Considerando simetria, a área do triângulo é onde :
Á

Passo 11

A média de sobre o triângulo é $ \frac{(2 + 2 + 2)}{3} = 2$. Então, a integral fica:

Resposta

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Calcule , onde
e é a união dos planos , com e , com , indicando a orientação escolhida para .
Calcule , onde
e é a semiesfera , com exterior.
Calcule , onde
e , com exterior.
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