Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=y i+x j+2 k e S é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2), com n tendo a componente z não negativa.

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de superfície de um campo vetorial F(x, y, z) = y i + x j + 2 k sobre uma superfície S. Essa superfície é o triângulo formado pelos pontos (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). O vetor normal n à superfície deve ter a componente z não negativa. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como a integral de superfície e o cálculo do vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é um triângulo no espaço tridimensional com vértices nos pontos dados. Para calcular a integral de superfície, precisamos achar uma parametrização dessa superfície ou encontrar uma maneira de expressar n dS.

Passo 3

Como a superfície é plana, podemos encontrar uma equação para o plano que passa pelos três pontos. Vamos usar os pontos (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2) para determinar essa equação.

Passo 4

Para achar a equação do plano, precisamos de dois vetores que estão na superfície. Vamos calcular:
  • Vetor AB de (2,0,0) para (0,2,0): AB = (-2, 2, 0)
  • Vetor AC de (2,0,0) para (0,0,2): AC = (-2, 0, 2)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores:
n = AB times AC = i & j & k -2 & 2 & 0 -2 & 0 & 2 = (4)i + (4)j + (4)k = 4i + 4j + 4k

Passo 6

Vamos normalizar o vetor normal para facilitar os cálculos. A normal unitaria é:
Como queremos que a componente n = n|n| = 4i + 4j + 4kraiz4^2 + 4^2 + 4^2 = 4i + 4j + 4k4raiz3 = i + j + kraiz3 seja não negativa, estamos de acordo com essa normalização.

Passo 7

A integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS pode ser simplificada usando o fato de que n dS = n , dA, onde dA é a área do triângulo.

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar F cdot n:
F cdot n = y cdot 1 + x cdot 1 + 2 cdot 1 = x + y + 2

Passo 9

Agora, precisamos integrar x + y + 2 sobre a área do triângulo. Observando os limites, podemos parametrizar o triângulo onde x, y, z são positivos e x + y + z = 2.

Passo 10

Podemos usar coordenadas barycentricas ou ajustar os limites de integração. Considerando simetria, a área do triângulo é raiz32 times a^2 onde a=2:
Área = raiz32 times 2^2 = 2raiz3 Á

Passo 11

A média de x + y + 2 sobre o triângulo é $ \frac{(2 + 2 + 2)}{3} = 2$. Então, a integral fica:
(2 + 2 + 2)3 = 2

Resposta

integral duplaS F cdot n , dS = 4raiz3

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