Calcule , onde e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície . Essa superfície é o triângulo formado pelos pontos , e . O vetor normal à superfície deve ter a componente não negativa. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como a integral de superfície e o cálculo do vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é um triângulo no espaço tridimensional com vértices nos pontos dados. Para calcular a integral de superfície, precisamos achar uma parametrização dessa superfície ou encontrar uma maneira de expressar .
Passo 3
Como a superfície é plana, podemos encontrar uma equação para o plano que passa pelos três pontos. Vamos usar os pontos , e para determinar essa equação.
Passo 4
Para achar a equação do plano, precisamos de dois vetores que estão na superfície. Vamos calcular:
Vetor de para :
Vetor de para :
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores:
Passo 6
Vamos normalizar o vetor normal para facilitar os cálculos. A normal unitaria é:
Como queremos que a componente n = n|n| = 4i + 4j + 4kraiz4^2 + 4^2 + 4^2 = 4i + 4j + 4k4raiz3 = i + j + kraiz3 seja não negativa, estamos de acordo com essa normalização.
Passo 7
A integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS pode ser simplificada usando o fato de que n dS = n , dA, onde dA é a área do triângulo.
Passo 8
Vamos calcular o produto escalar F cdot n:
F cdot n = y cdot 1 + x cdot 1 + 2 cdot 1 = x + y + 2
Passo 9
Agora, precisamos integrar x + y + 2 sobre a área do triângulo. Observando os limites, podemos parametrizar o triângulo onde x, y, z são positivos e x + y + z = 2.
Passo 10
Podemos usar coordenadas barycentricas ou ajustar os limites de integração. Considerando simetria, a área do triângulo é raiz32 times a^2 onde a=2:
Área = raiz32 times 2^2 = 2raiz3 Á
Passo 11
A média de x + y + 2 sobre o triângulo é $ \frac{(2 + 2 + 2)}{3} = 2$. Então, a integral fica: