Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros: : parte da esfera , que fica acima do plano .
Passo 1
Beleza, então temos um exercício que pede para a gente parametrizar uma parte de uma esfera. A superfície em questão é a parte da esfera definida por que está acima do plano . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a parametrização dessa superfície e identificar o domínio dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a parametrização em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
onde:
é o raio da esfera,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ),
é o ângulo azimutal (medido no plano ).
Passo 3
No nosso caso, a equação da esfera é , o que significa que o raio . Então, podemos simplificar as fórmulas para:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites para os parâmetros e para que a superfície fique apenas acima do plano . Isso significa que .
Passo 5
Substituindo na inequação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Sabemos que quando . Portanto, para que seja maior ou igual a , o ângulo deve estar no intervalo de a .
Passo 6
O parâmetro gira ao redor do eixo completo, então ele varia de a .