Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte da esfera , que fica acima do plano .

Passo 1

Beleza, então temos um exercício que pede para a gente parametrizar uma parte de uma esfera. A superfície em questão é a parte da esfera definida por que está acima do plano . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a parametrização dessa superfície e identificar o domínio dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a parametrização em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
onde:
  • é o raio da esfera,
  • é o ângulo polar (medido a partir do eixo ),
  • é o ângulo azimutal (medido no plano ).

Passo 3

No nosso caso, a equação da esfera é , o que significa que o raio . Então, podemos simplificar as fórmulas para:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites para os parâmetros e para que a superfície fique apenas acima do plano . Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na inequação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Sabemos que quando . Portanto, para que seja maior ou igual a , o ângulo deve estar no intervalo de a .

Passo 6

O parâmetro gira ao redor do eixo completo, então ele varia de a .

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:
com os parâmetros no domínio:

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Calcule , onde
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