Calcule , onde
e , com exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula adequada para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície . Ela é definida pela equação com . Isso descreve um cilindro circular reto de raio que se estende do plano até . Como , estamos considerando apenas a parte superior do cilindro.

Passo 3

O próximo passo é determinar o vetor normal à superfície. Como queremos o fluxo exterior, o vetor normal apontará para fora do cilindro. Para um cilindro circular, o vetor normal pode ser calculado a partir das derivadas parciais da parametrização da superfície.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas cilíndricas:
onde varia de a e varia de a .

Passo 5

Com a parametrização, calculamos os vetores tangentes à superfície:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Notamos que já está apontando para fora, conforme desejado.

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo e :
Substituindo e :

Passo 7

Finalmente, calculamos a integral de fluxo:

Resposta

O valor da integral de fluxo é .

Exercícios relacionados

Calcule , onde
e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.
Calcule , onde
e é a união dos planos , com e , com , indicando a orientação escolhida para .
Calcule o fluxo de , através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto a em torno do eixo , onde o vetor tem componente não negativa.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte da esfera , que fica acima do plano .