Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula adequada para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície . Ela é definida pela equação com . Isso descreve um cilindro circular reto de raio que se estende do plano até . Como , estamos considerando apenas a parte superior do cilindro.
Passo 3
O próximo passo é determinar o vetor normal à superfície. Como queremos o fluxo exterior, o vetor normal apontará para fora do cilindro. Para um cilindro circular, o vetor normal pode ser calculado a partir das derivadas parciais da parametrização da superfície.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas cilíndricas:
onde varia de a e varia de a .
Passo 5
Com a parametrização, calculamos os vetores tangentes à superfície:
partial rpartial theta = (-a sin theta, a cos theta, 0)
partial rpartial z = (0, 0, 1)
O vetor normal n = partial rpartial theta times partial rpartial z = (a cos theta, a sin theta, 0) é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Notamos que já está apontando para fora, conforme desejado.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n = (x - y)(a cos theta) + (x + y)(a sin theta) + z cdot 0 . Substituindo F cdot n = (a cos theta - a sin theta)(a cos theta) + (a cos theta + a sin theta)(a sin theta) e = a^2 cos^2 theta - a^2 sin theta cos theta + a^2 cos theta sin theta + a^2 sin^2 theta :
= a^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Substituindo = a^2 (1) e = a^2 :
Passo 7
Finalmente, calculamos a integral de fluxo:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^h a^2 cdot a , dz , dtheta