Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula adequada para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície . Ela é definida pela equação com . Isso descreve um cilindro circular reto de raio que se estende do plano até . Como , estamos considerando apenas a parte superior do cilindro.
Passo 3
O próximo passo é determinar o vetor normal à superfície. Como queremos o fluxo exterior, o vetor normal apontará para fora do cilindro. Para um cilindro circular, o vetor normal pode ser calculado a partir das derivadas parciais da parametrização da superfície.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas cilíndricas:
onde varia de a e varia de a .
Passo 5
Com a parametrização, calculamos os vetores tangentes à superfície:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Notamos que já está apontando para fora, conforme desejado.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo e :