Calcule o fluxo Phi através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) F = (x^2 + y) i + x y j - (2 x z + y) k e S a superfície do tetraedro no octante, limitado por x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo, representado por Phi, através de uma superfície S. A superfície S é a do tetraedro no primeiro octante, que é limitado pelo plano e pelos planos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0. A matéria envolvida aqui é o cálculo de fluxo em campos vetoriais, e vamos precisar usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para simplificar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo. O fluxo Phi de um campo vetorial F através de uma superfície S mede a quantidade de “fluxo” do campo que passa por S. Matematicamente, é dado por:
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar o Teorema de Gauss, que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume. O Teorema de Gauss diz que:
Onde V é o volume limitado por S e é a divergência do campo F.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial é:
Para o nosso campo, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:

Passo 5

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume V do tetraedro. As coordenadas variam no primeiro octante com . Então, os limites de integração são:
A integral de volume fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
Agora, a integral vira:

Passo 7

Vamos agora integrar em relação a y:
Substituindo os limites:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a x:
Calculando essa integral:

Resposta

O fluxo Phi através da superfície S é .

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