Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e a superfície do tetraedro no octante, limitado por pelos planos coordenados.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo, representado por , através de uma superfície . A superfície é a do tetraedro no primeiro octante, que é limitado pelo plano e pelos planos coordenados , e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de fluxo em campos vetoriais, e vamos precisar usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para simplificar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” do campo que passa por . Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar o Teorema de Gauss, que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume. O Teorema de Gauss diz que:
Onde é o volume limitado por e é a divergência do campo .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é:
Para o nosso campo, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:

Passo 5

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume do tetraedro. As coordenadas variam no primeiro octante com . Então, os limites de integração são:
A integral de volume fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral vira:

Passo 7

Vamos agora integrar em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :
Calculando essa integral:

Resposta

O fluxo através da superfície é .

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Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e a esfera .
Suponha que você comece no ponto e se mova 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de . Onde você está agora?
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(a) e a superfície do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos , .
Dado , calcule o fluxo do campo através do hemisfério superior da esfera de raio , descrito como , com .