Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e a superfície do tetraedro no octante, limitado por pelos planos coordenados.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo, representado por , através de uma superfície . A superfície é a do tetraedro no primeiro octante, que é limitado pelo plano e pelos planos coordenados , e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de fluxo em campos vetoriais, e vamos precisar usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para simplificar nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” do campo que passa por . Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar o Teorema de Gauss, que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume. O Teorema de Gauss diz que:
Onde é o volume limitado por e é a divergência do campo .
Passo 4
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é:
Para o nosso campo, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 5
Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume do tetraedro. As coordenadas variam no primeiro octante com . Então, os limites de integração são:
A integral de volume fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :