Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e a esfera .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma esfera definida por . Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de fluxo em campos vetoriais, e vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado, mas tem um truque legal chamado Teorema da Divergência que facilita bastante. Esse teorema nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para nosso campo , temos:

Passo 5

Agora, usando o Teorema da Divergência, o fluxo é:

Passo 6

Vamos calcular o volume da esfera de raio . A fórmula do volume é:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos a divergência pelo volume:

Resposta

O fluxo através da esfera é .

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Suponha que você comece no ponto e se mova 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de . Onde você está agora?
Seja a superfície do cubo, determinada pelos seis planos e orientada para fora. Determine o fluxo para cada um dos campos abaixo.
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Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e a superfície do tetraedro no octante, limitado por pelos planos coordenados.
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(a) e a superfície do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos , .