Calcule o fluxo Phi através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) F = 2x i + 2y j + 2z k e S a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o fluxo Phi do campo vetorial através da superfície S, que é uma esfera definida por . Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de fluxo em campos vetoriais, e vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo Phi de um campo vetorial F através de uma superfície S mede quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado, mas tem um truque legal chamado Teorema da Divergência que facilita bastante. Esse teorema nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S:

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
Para nosso campo , temos:

Passo 5

Agora, usando o Teorema da Divergência, o fluxo é:

Passo 6

Vamos calcular o volume da esfera de raio . A fórmula do volume é:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos a divergência pelo volume:

Resposta

O fluxo Phi através da esfera S é .

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