Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b)
e
a esfera
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o fluxo
do campo vetorial
através da superfície
, que é uma esfera definida por
. Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de fluxo em campos vetoriais, e vamos precisar usar o Teorema da Divergência para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
mede quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado, mas tem um truque legal chamado Teorema da Divergência que facilita bastante. Esse teorema nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Para nosso campo
, temos:
Passo 5
Agora, usando o Teorema da Divergência, o fluxo é:
Passo 6
Vamos calcular o volume da esfera de raio
. A fórmula do volume é:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos a divergência pelo volume:
Resposta
O fluxo
através da esfera
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que você comece no ponto
e se mova 42 unidades ao longo da curva
na direção positiva de
. Onde você está agora?
Seja
a superfície do cubo, determinada pelos seis planos
e orientada para fora. Determine o fluxo
para cada um dos campos abaixo.
©
©
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e
a superfície do tetraedro no
octante, limitado por
pelos planos coordenados.
(e)
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(a) e
a superfície do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
,
.
(a)