Suponha que você comece no ponto
e se mova 42 unidades ao longo da curva
na direção positiva de
. Onde você está agora?
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para começarmos no ponto
e nos movermos 42 unidades ao longo da curva
na direção positiva de
. Para resolver isso, precisamos entender o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar quanto “caminhamos” ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a fórmula para o comprimento de arco. O comprimento de uma curva
de
até
é dado pela integral:
Vamos calcular
para a nossa função.
Passo 3
A nossa curva é
. Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Portanto, o comprimento de arco de
até
é:
Passo 6
Sabemos que esse comprimento de arco deve ser igual a 42 unidades:
Vamos resolver para
.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Somando 1 em ambos os lados:
Passo 8
Elevando ambos os lados à potência
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 9
Agora que encontramos
, podemos determinar a coordenada
correspondente:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Resposta
Após mover 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de
, você está aproximadamente no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
a superfície do cubo, determinada pelos seis planos
e orientada para fora. Determine o fluxo
para cada um dos campos abaixo.
©
©
Determine se a integral é convergente ou divergente:
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e
a esfera
.
(b)
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e
a superfície do tetraedro no
octante, limitado por
pelos planos coordenados.
(e)