Suponha que você comece no ponto e se mova 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de . Onde você está agora?

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para começarmos no ponto e nos movermos 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de . Para resolver isso, precisamos entender o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar quanto “caminhamos” ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a fórmula para o comprimento de arco. O comprimento de uma curva de até é dado pela integral:
Vamos calcular para a nossa função.

Passo 3

A nossa curva é . Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Portanto, o comprimento de arco de até é:

Passo 6

Sabemos que esse comprimento de arco deve ser igual a 42 unidades:
Vamos resolver para .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por :
Somando 1 em ambos os lados:

Passo 8

Elevando ambos os lados à potência :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 9

Agora que encontramos , podemos determinar a coordenada correspondente:
Calculando :
Substituindo de volta:

Resposta

Após mover 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de , você está aproximadamente no ponto .

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Seja a superfície do cubo, determinada pelos seis planos e orientada para fora. Determine o fluxo para cada um dos campos abaixo.
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Determine se a integral é convergente ou divergente:
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e a esfera .
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e a superfície do tetraedro no octante, limitado por pelos planos coordenados.