Suponha que você comece no ponto 0,1 e se mova 42 unidades ao longo da curva y = 1 + 2 x^(3/2) / 3 na direção positiva de x. Onde você está agora?

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para começarmos no ponto 0,1 e nos movermos 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de x. Para resolver isso, precisamos entender o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar quanto “caminhamos” ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a fórmula para o comprimento de arco. O comprimento de uma curva de até é dado pela integral:
Vamos calcular para a nossa função.

Passo 3

A nossa curva é . Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Portanto, o comprimento de arco de x = 0 até é:

Passo 6

Sabemos que esse comprimento de arco deve ser igual a 42 unidades:
Vamos resolver para a.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 3/2:
Somando 1 em ambos os lados:

Passo 8

Elevando ambos os lados à potência 2/3:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 9

Agora que encontramos , podemos determinar a coordenada y correspondente:
Calculando :
Substituindo de volta:

Resposta

Após mover 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de x, você está aproximadamente no ponto .

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