Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(a)
e
a superfície do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
,
.
(a)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular o fluxo
de um campo vetorial através da superfície de um cubo. O campo vetorial é
e a superfície
é a superfície de um cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
,
,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de divergência e o Teorema da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo mede a quantidade de um campo vetorial que passa através de uma superfície. Para calcular isso de forma mais simples, especialmente em superfícies fechadas como um cubo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da superfície com a divergência do campo vetorial dentro do volume.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo
. O teorema diz:
Como a divergência é constante e igual a 8, podemos simplificar para:
Passo 5
Calculando o volume do cubo. Como os limites são de
a
,
a
e
a
, o volume
é:
Passo 6
Finalmente, multiplicando a divergência pelo volume:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e
a superfície do tetraedro no
octante, limitado por
pelos planos coordenados.
(e)
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e
a esfera
.
(b)
Dado
, calcule o fluxo do campo
através do hemisfério superior da esfera de raio
, descrito como
, com
.
c) O supremo do conjunto
é 4.