Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(a) e a superfície do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos , .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície de um cubo. O campo vetorial é e a superfície é a superfície de um cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos , , . Para resolver isso, vamos usar o conceito de divergência e o Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo mede a quantidade de um campo vetorial que passa através de uma superfície. Para calcular isso de forma mais simples, especialmente em superfícies fechadas como um cubo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da superfície com a divergência do campo vetorial dentro do volume.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Calculando cada derivada parcial:

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo . O teorema diz:
Como a divergência é constante e igual a 8, podemos simplificar para:

Passo 5

Calculando o volume do cubo. Como os limites são de a , a e a , o volume é:

Passo 6

Finalmente, multiplicando a divergência pelo volume:

Resposta

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Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(e) e a superfície do tetraedro no octante, limitado por pelos planos coordenados.
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e a esfera .
Dado , calcule o fluxo do campo através do hemisfério superior da esfera de raio , descrito como , com .
c) O supremo do conjunto é 4.