Calcule o fluxo Phi através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(a) F = 4 x i - 3 y j + 7 z k e S a superfície do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=1, z = 1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o fluxo Phi de um campo vetorial através da superfície de um cubo. O campo vetorial é e a superfície S é a superfície de um cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1, z = 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de divergência e o Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo mede a quantidade de um campo vetorial que passa através de uma superfície. Para calcular isso de forma mais simples, especialmente em superfícies fechadas como um cubo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da superfície com a divergência do campo vetorial dentro do volume.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada parcial:

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos usar o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo Phi. O teorema diz:
Como a divergência é constante e igual a 8, podemos simplificar para:

Passo 5

Calculando o volume do cubo. Como os limites são de x = 0 a x = 1, y = 0 a y = 1 e z = 0 a z = 1, o volume V é:

Passo 6

Finalmente, multiplicando a divergência pelo volume:

Resposta

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