Seja
a superfície do cubo, determinada pelos seis planos
e orientada para fora. Determine o fluxo
para cada um dos campos abaixo.
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o fluxo
de um campo vetorial específico através da superfície de um cubo definido pelos planos
,
e
, com orientação para fora. O conteúdo aqui envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Vamos precisar entender o que é fluxo, divergência e como aplicar o teorema para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo
. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para calcular esse fluxo de maneira mais fácil, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a integral da divergência de
sobre o volume
dentro do cubo.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. Dado que
, a divergência
é:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume do cubo. O cubo vai de
a
em todas as direções
,
e
. Então, a integral tripla fica:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Notemos que, devido à simetria do cubo em relação às três variáveis, as integrais de
,
e
sobre o volume serão iguais.
Passo 7
Vamos calcular uma dessas integrais, por exemplo,
:
Integrando em
:
Então, cada uma dessas integrais é zero.
Passo 8
Portanto, somando as integrais:
Resposta
O fluxo
do campo
através da superfície do cubo é igual a zero.
Exercícios relacionados
Determine se a integral é convergente ou divergente:
Calcule as integrais.
Suponha que você comece no ponto
e se mova 42 unidades ao longo da curva
na direção positiva de
. Onde você está agora?
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e
a esfera
.
(b)