Seja a superfície do cubo, determinada pelos seis planos e orientada para fora. Determine o fluxo para cada um dos campos abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o fluxo de um campo vetorial específico através da superfície de um cubo definido pelos planos , e , com orientação para fora. O conteúdo aqui envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Vamos precisar entender o que é fluxo, divergência e como aplicar o teorema para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo . O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para calcular esse fluxo de maneira mais fácil, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que:
Ou seja, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a integral da divergência de sobre o volume dentro do cubo.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . Dado que , a divergência é:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume do cubo. O cubo vai de a em todas as direções , e . Então, a integral tripla fica:

Passo 6

Vamos separar a integral:
Notemos que, devido à simetria do cubo em relação às três variáveis, as integrais de , e sobre o volume serão iguais.

Passo 7

Vamos calcular uma dessas integrais, por exemplo, :
Integrando em :
Então, cada uma dessas integrais é zero.

Passo 8

Portanto, somando as integrais:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície do cubo é igual a zero.

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Determine se a integral é convergente ou divergente:
Calcule as integrais.
Suponha que você comece no ponto e se mova 42 unidades ao longo da curva na direção positiva de . Onde você está agora?
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(b) e a esfera .