Calcule o fluxo Phi através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(d) F = x i + y j + z k e S a superfície do sólido limitado por x^2 + y^2 = 4, z = 0 e z = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo através da superfície , que é a superfície do sólido limitado pelo cilindro , e pelas bases nos planos e . O campo vetorial dado é . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Aqui, , e . Calculando cada derivada:
Então,

Passo 3

Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo é igual à integral tripla da divergência sobre o volume limitado por :
Substituindo a divergência que calculamos:

Passo 4

Vamos calcular o volume do cilindro. A base é um círculo de raio (já que ) e a altura . A área da base é:
Então, o volume é:

Passo 5

Voltando à expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo através da superfície é .

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