Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(d)
e
a superfície do sólido limitado por
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo
através da superfície
, que é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
, e pelas bases nos planos
e
. O campo vetorial dado é
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Aqui,
,
e
. Calculando cada derivada:
Então,
Passo 3
Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo
é igual à integral tripla da divergência sobre o volume
limitado por
:
Substituindo a divergência que calculamos:
Passo 4
Vamos calcular o volume do cilindro. A base é um círculo de raio
(já que
) e a altura
. A área da base é:
Então, o volume
é:
Passo 5
Voltando à expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo
através da superfície
é
.