Em
considere a relação
dada por
Essa relação é chamada de ordem lexicográfica em
.
(a) Prove que
é uma ordem total em
.
(b) Ordene os seguintes elementos de acordo com a ordem lexicográfica:
(a) Prove que
(b) Ordene os seguintes elementos de acordo com a ordem lexicográfica:
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que fala sobre a ordem lexicográfica em pares de números naturais. Primeiro, vamos provar que essa relação é uma ordem total. Depois, vamos usar essa ordem para organizar uma lista de pares. Para isso, precisamos entender os conceitos de ordem total e as propriedades que ela deve ter.
Passo 2
Uma ordem total precisa satisfazer quatro propriedades principais:
- Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Antissimetria: Se um elemento está relacionado com outro e vice-versa, então os dois elementos são iguais.
- Transitividade: Se um elemento está relacionado com o segundo e o segundo com o terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
- Totalidade: Qualquer dois elementos podem ser comparados.
Vamos verificar se a relação
que define a ordem lexicográfica satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Reflexividade: Precisamos ver se todo par
está relacionado consigo mesmo, ou seja, se
.
Na definição:
Como
e
sempre são verdadeiros, a condição é satisfeita. Logo, a relação é reflexiva.
Passo 4
Antissimetria: Vamos ver se, se
e
, então
.
Pela definição:
-
ou . -
ou .
Se
e
, isso é impossível. Então, a única possibilidade é que
e
, e ao mesmo tempo
e
. Assim,
. Portanto,
, mostrando que a relação é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade: Precisamos mostrar que se
e
, então
.
Vamos considerar os casos:
- Se
e , então , então . - Se
e , então , então . - Se
e , e , então , então . - Se
e , e e , então e , então .
Em todos os casos, a condição de transitividade é satisfeita.
Passo 6
Totalidade: Precisamos garantir que qualquer dois pares
e
podem ser comparados, ou seja, ou
ou
.
Para qualquer dois pares:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então ou ou , então um dos dois será verdadeiro.
Assim, a relação é total.
Passo 7
Com todas as propriedades verificadas (reflexividade, antissimetria, transitividade e totalidade), podemos concluir que a relação
é uma ordem total em
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos ordenar uma lista de pares usando a ordem lexicográfica definida.
Os pares são:
Passo 9
Para ordenar, seguimos esses passos:
- Primeiro elemento: Ordenamos os pares pelo primeiro número.
- Segundo elemento: Se o primeiro número for igual, ordenamos pelo segundo número.
Vamos aplicar isso:
-
Primeiro elementos 1:
-
-
Primeiro elementos 2:
-
-
Primeiro elementos 3:
-
-
Primeiro elementos 4:
-
Passo 10
Assim, a lista ordenada fica:
Resposta
(a) A relação
é uma ordem total em
.
(b) A ordenação dos elementos conforme a ordem lexicográfica fica:
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo
através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(d) e
a superfície do sólido limitado por
e
.
(d)
Considere o conjunto
com a ordem
. Determine os elementos maximais e minimais de
. Determine os maiores e menores elementos de
.
Determine se a integral é convergente ou divergente:
Calcule as integrais.