Considere o conjunto
com a ordem
. Determine os elementos maximais e minimais de
. Determine os maiores e menores elementos de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto das partes de
, que é
, com a ordem definida por inclusão de conjuntos (
). O conteúdo envolve teoria dos conjuntos e ordens parciais. Para resolver, vamos precisar identificar os elementos maximais e minimais, bem como os maiores e menores elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os elementos de
. O conjunto das partes de
contém todos os subconjuntos possíveis, incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos definir o que são elementos maximais e minimais em um conjunto parcialmente ordenado.
- Elemento maximal: Um elemento
é maximal se não há nenhum outro elemento tal que . - Elemento minimal: Um elemento
é minimal se não há nenhum outro elemento tal que .
Para identificar esses elementos, vamos verificar cada subconjunto.
Passo 4
Vamos identificar os elementos maximais:
- O conjunto
não está contido em nenhum outro conjunto, então é maximal. - Nenhum outro conjunto contém
, então não há outros maximais.
Portanto, o único elemento maximal é
.
Passo 5
Agora, vamos identificar os elementos minimais:
- O conjunto vazio
não contém nenhum outro conjunto, então é minimal. - Nenhum outro conjunto está contido na
, então não há outros minimais.
Portanto, o único elemento minimal é
.
Passo 6
Em seguida, vamos definir o que são maiores e menores elementos.
- Maior elemento: Um elemento que é maior que todos os outros elementos do conjunto ordenado.
- Menor elemento: Um elemento que é menor que todos os outros elementos do conjunto ordenado.
Passo 7
Vamos verificar se existe um maior elemento em
:
O conjunto
contém todos os outros subconjuntos, ou seja, para todo
,
. Portanto,
é o maior elemento.
Passo 8
Agora, vamos verificar se existe um menor elemento em
:
O conjunto vazio
está contido em todos os outros subconjuntos, ou seja, para todo
,
. Portanto,
é o menor elemento.
Resposta
- Elemento maximal:
- Elemento minimal:
- Maior elemento:
- Menor elemento: