Considere o conjunto P({1,2,3}) com a ordem subset. Determine os elementos maximais e minimais de P({1,2,3}). Determine os maiores e menores elementos de P({1,2,3}).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto das partes de {1, 2, 3}, que é P({1,2,3}), com a ordem definida por inclusão de conjuntos ( subset). O conteúdo envolve teoria dos conjuntos e ordens parciais. Para resolver, vamos precisar identificar os elementos maximais e minimais, bem como os maiores e menores elementos de P({1,2,3}).

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os elementos de P({1,2,3}). O conjunto das partes de {1, 2, 3} contém todos os subconjuntos possíveis, incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto {1, 2, 3}.

Passo 3

Agora, vamos definir o que são elementos maximais e minimais em um conjunto parcialmente ordenado.
  • Elemento maximal: Um elemento A é maximal se não há nenhum outro elemento B tal que A ⊆ B.
  • Elemento minimal: Um elemento A é minimal se não há nenhum outro elemento B tal que B ⊆ A.
Para identificar esses elementos, vamos verificar cada subconjunto.

Passo 4

Vamos identificar os elementos maximais:
  • O conjunto {1, 2, 3} não está contido em nenhum outro conjunto, então é maximal.
  • Nenhum outro conjunto contém {1, 2, 3}, então não há outros maximais.
Portanto, o único elemento maximal é {1, 2, 3}.

Passo 5

Agora, vamos identificar os elementos minimais:
  • O conjunto vazio não contém nenhum outro conjunto, então é minimal.
  • Nenhum outro conjunto está contido na , então não há outros minimais.
Portanto, o único elemento minimal é .

Passo 6

Em seguida, vamos definir o que são maiores e menores elementos.
  • Maior elemento: Um elemento que é maior que todos os outros elementos do conjunto ordenado.
  • Menor elemento: Um elemento que é menor que todos os outros elementos do conjunto ordenado.

Passo 7

Vamos verificar se existe um maior elemento em P({1,2,3}):
O conjunto {1, 2, 3} contém todos os outros subconjuntos, ou seja, para todo , . Portanto, {1, 2, 3} é o maior elemento.

Passo 8

Agora, vamos verificar se existe um menor elemento em P({1,2,3}):
O conjunto vazio está contido em todos os outros subconjuntos, ou seja, para todo , . Portanto, é o menor elemento.

Resposta

  • Elemento maximal: {1, 2, 3}
  • Elemento minimal:
  • Maior elemento: {1, 2, 3}
  • Menor elemento:

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