Determine se a integral é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Isso está ligado ao estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos ou funções com comportamentos complicados.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste é super útil quando queremos saber se uma integral converge ou diverge comparando com uma integral que já sabemos o comportamento.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
Quando
fica bem grande (tende ao infinito), o termo
é praticamente igual a
. Então, podemos simplificar a expressão para facilitar a comparação.
Passo 4
Com isso, para valores grandes de
, a função
se comporta assim:
Então, vamos comparar nossa integral com a integral de
.
Passo 5
Agora, sabemos que a integral
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Isso significa que a integral de
converge.
Passo 6
Como
para todo
(já que
), e a integral de
converge, pelo Teste da Comparação, a nossa integral original também converge.
Resposta
A integral
é convergente.