Determine se a integral é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Isso está ligado ao estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos ou funções com comportamentos complicados.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste é super útil quando queremos saber se uma integral converge ou diverge comparando com uma integral que já sabemos o comportamento.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
Quando fica bem grande (tende ao infinito), o termo é praticamente igual a . Então, podemos simplificar a expressão para facilitar a comparação.

Passo 4

Com isso, para valores grandes de , a função se comporta assim:
Então, vamos comparar nossa integral com a integral de .

Passo 5

Agora, sabemos que a integral
converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que a integral de converge.

Passo 6

Como para todo (já que ), e a integral de converge, pelo Teste da Comparação, a nossa integral original também converge.

Resposta

A integral
é convergente.

Exercícios relacionados

Em considere a relação dada por
Essa relação é chamada de ordem lexicográfica em .
(a) Prove que é uma ordem total em .
(b) Ordene os seguintes elementos de acordo com a ordem lexicográfica:
Calcule o fluxo através das superfícies dadas, nos seguintes casos.
(d) e a superfície do sólido limitado por e .
Calcule as integrais.
Determine se a integral é convergente ou divergente: