Determine se a integral é convergente ou divergente:
integral1^infty raizxx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a integral imprópria
integral1^infty raizxx^2+1 , dx
é convergente ou divergente. Isso está ligado ao estudo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos ou funções com comportamentos complicados.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste é super útil quando queremos saber se uma integral converge ou diverge comparando com uma integral que já sabemos o comportamento.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
f(x) = raizxx^2+1
Quando fica bem grande (tende ao infinito), o termo é praticamente igual a . Então, podemos simplificar a expressão para facilitar a comparação.

Passo 4

Com isso, para valores grandes de raizxx^2+1 approx raizxx^2 = 1x^3/2 , a função se comporta assim:
Então, vamos comparar nossa integral com a integral de .

Passo 5

Agora, sabemos que a integral
integral1^infty 1x^p , dx
converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que a integral de converge.

Passo 6

Como para todo (já que ), e a integral de converge, pelo Teste da Comparação, a nossa integral original também converge.

Resposta

A integral
integral1^infty raizxx^2+1 , dx
é convergente.

Exercícios relacionados