Prove que se numa ordem parcial
há um maior elemento, então ele é único.
Passo 1
Então, temos que provar que em uma ordem parcial
, se existe um elemento maior, ele é único. A matéria aqui é sobre ordens parciais e elementos máximos. Vamos precisar entender o que é uma ordem parcial e o que significa um elemento ser o maior em tal ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma ordem parcial. É um conjunto
junto com uma relação
que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Isso significa que para qualquer
,
(reflexiva), se
e
então
(antissimétrica), e se
e
então
(transitiva).
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um elemento maior ou máximo. Um elemento
é chamado de maior se para todo
, temos
. Ou seja,
está no topo da ordem.
Passo 4
Vamos supor que existam dois elementos maiores, digamos
e
, em
. Segundo a definição de maior, para todo
,
e
.
Passo 5
Agora, usando a antissimetria da ordem parcial: já que
é maior, temos
. E como
também é maior, temos
. Pela antissimetria, isso implica que
.
Resposta
Portanto, se numa ordem parcial
há um maior elemento, ele é único.