Prove que se numa ordem parcial (A, <=) há um maior elemento, então ele é único.

Passo 1

Então, temos que provar que em uma ordem parcial (A, <=), se existe um elemento maior, ele é único. A matéria aqui é sobre ordens parciais e elementos máximos. Vamos precisar entender o que é uma ordem parcial e o que significa um elemento ser o maior em tal ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma ordem parcial. É um conjunto A junto com uma relação que é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Isso significa que para qualquer a in A, (reflexiva), se a <= b e então (antissimétrica), e se a <= b e b <= c então (transitiva).

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um elemento maior ou máximo. Um elemento é chamado de maior se para todo a in A, temos . Ou seja, m está no topo da ordem.

Passo 4

Vamos supor que existam dois elementos maiores, digamos e , em A. Segundo a definição de maior, para todo a in A, e .

Passo 5

Agora, usando a antissimetria da ordem parcial: já que é maior, temos . E como também é maior, temos . Pela antissimetria, isso implica que .

Resposta

Portanto, se numa ordem parcial (A, <=) há um maior elemento, ele é único.

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