Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície orientada para fora, nos casos abaixo. Sugestão: faça o gráfico da superfície para ajudá-lo na escolha do vetor normal .
© e é o hemisfério superior da esfera dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície . Aqui, e é o hemisfério superior da esfera dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o fluxo . O fluxo mede a quantidade de campo vetorial que “passa” através da superfície . Matematicamente, é dado por:
Aqui, é o vetor normal à superfície e é o elemento de área.

Passo 3

Nossa próxima tarefa é encontrar o vetor normal para a superfície . Como é o hemisfério superior da esfera , podemos parametrizar a esfera em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera de raio 1 é dado por:
Aqui, é o ângulo polar (de a para o hemisfério superior) e é o ângulo azimutal (de a ).

Passo 4

O vetor normal para a superfície de uma esfera de raio 1 é simplesmente as coordenadas do ponto na esfera:
Como a esfera tem raio 1, já é um vetor unitário.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar . Sabemos que , então:
Mas , então substituindo:

Passo 6

O próximo passo é determinar o elemento de área em coordenadas esféricas. Para uma esfera de raio 1, temos:

Passo 7

Agora, vamos montar a integral do fluxo :

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , , os limites mudam de ( ) para ( ). Assim:

Passo 9

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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