Calcule o fluxo
do campo vetorial
através da superfície
orientada para fora, nos casos abaixo. Sugestão: faça o gráfico da superfície para ajudá-lo na escolha do vetor normal
.
©
e
é o hemisfério superior da esfera dado por
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
. Aqui,
e
é o hemisfério superior da esfera dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o fluxo
. O fluxo mede a quantidade de campo vetorial que “passa” através da superfície
. Matematicamente, é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
e
é o elemento de área.
Passo 3
Nossa próxima tarefa é encontrar o vetor normal
para a superfície
. Como
é o hemisfério superior da esfera
, podemos parametrizar a esfera em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera de raio 1 é dado por:
Aqui,
é o ângulo polar (de
a
para o hemisfério superior) e
é o ângulo azimutal (de
a
).
Passo 4
O vetor normal
para a superfície de uma esfera de raio 1 é simplesmente as coordenadas do ponto na esfera:
Como a esfera tem raio 1,
já é um vetor unitário.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Sabemos que
, então:
Mas
, então substituindo:
Passo 6
O próximo passo é determinar o elemento de área
em coordenadas esféricas. Para uma esfera de raio 1, temos:
Passo 7
Agora, vamos montar a integral do fluxo
:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, os limites mudam de
(
) para
(
). Assim:
Passo 9
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Resposta
O fluxo
do campo vetorial
através da superfície
é
.
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Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
(a) da reta que liga a
.
(a) da reta que liga
Determine os pontos do cone
que estão mais próximos do ponto (
). Onde
Encontre o limite. Use a Regra de l
Use o Teorema da Divergência para provar que se
e
denota o volume do sólido de área superficial
, então o fluxo de
através de
é dado por: