Determine os pontos do cone
que estão mais próximos do ponto (
). Onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no cone definido por
que ficam mais próximos do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a minimização de distância e um pouquinho de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada por:
Mas pra facilitar a matemática, em vez de minimizar
, a gente pode minimizar
, já que o mínimo de uma função e o mínimo do seu quadrado são iguais.
Passo 3
Então, vamos escrever a função que representa a distância ao quadrado:
Agora, como estamos procurando pontos no cone
, a gente pode substituir
por
na nossa função de distância.
Passo 4
Substituindo
na expressão de
, temos:
Agora, pra encontrar os mínimos, vamos derivar essa função em relação a
e
e igualar a zero.
Passo 5
Vamos derivar parcialmente
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos simplificar essas equações. Observe que elas ficam simétricas em relação a
e
, sugerindo que
pode ser uma solução. Vamos assumir
e verificar.
Passo 7
Com
, a equação do cone fica
. Vamos considerar
primeiro. Substituindo na equação de distância:
Passo 8
Explicando, agora temos uma função de
que podemos minimizar:
Passo 9
Para encontrar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 10
Com
, e lembrando que
, temos
. Assim, o ponto mais próximo no caso
é
.
Passo 11
Agora, vamos considerar o caso
. Substituindo na função de distância:
Passo 12
Expandindo:
Passo 13
Derivando e igualando a zero para minimizar:
Passo 14
Com
e
, temos
. Então, o ponto mais próximo nesse caso é
.
Resposta
Os pontos do cone
mais próximos de
são
e
.
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é dada por:
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em direção ao ponto (
. (10 pontos)
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ao longo:
(a) da reta que liga a
.
(a) da reta que liga
Calcule o fluxo
do campo vetorial
através da superfície
orientada para fora, nos casos abaixo. Sugestão: faça o gráfico da superfície para ajudá-lo na escolha do vetor normal
.
© e
é o hemisfério superior da esfera dado por
.
©