Determine os pontos do cone z^2 = x^2 + y^2 que estão mais próximos do ponto ( a, 0, -2a ). Onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no cone definido por que ficam mais próximos do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a minimização de distância e um pouquinho de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos e , a distância entre eles é dada por:
Mas pra facilitar a matemática, em vez de minimizar , a gente pode minimizar , já que o mínimo de uma função e o mínimo do seu quadrado são iguais.

Passo 3

Então, vamos escrever a função que representa a distância ao quadrado:
Agora, como estamos procurando pontos no cone , a gente pode substituir por na nossa função de distância.

Passo 4

Substituindo na expressão de , temos:
Agora, pra encontrar os mínimos, vamos derivar essa função em relação a e e igualar a zero.

Passo 5

Vamos derivar parcialmente em relação a e :
Para :
Para :

Passo 6

Vamos simplificar essas equações. Observe que elas ficam simétricas em relação a e , sugerindo que pode ser uma solução. Vamos assumir e verificar.

Passo 7

Com , a equação do cone fica . Vamos considerar primeiro. Substituindo na equação de distância:

Passo 8

Explicando, agora temos uma função de que podemos minimizar:

Passo 9

Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 10

Com , e lembrando que , temos . Assim, o ponto mais próximo no caso é .

Passo 11

Agora, vamos considerar o caso . Substituindo na função de distância:

Passo 12

Expandindo:

Passo 13

Derivando e igualando a zero para minimizar:

Passo 14

Com e , temos . Então, o ponto mais próximo nesse caso é .

Resposta

Os pontos do cone mais próximos de são e .

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