Encontre o limite. Use a Regra de l
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente o cálculo de limites usando a Regra de L’Hospital. Para resolver, vamos precisar entender como essa regra funciona e aplicá-la corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando funções trigonométricas básicas. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0. Tanto
quanto
tendem a 0, e
tende a 1. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, que é exatamente onde a Regra de L’Hospital entra em ação.
Passo 4
A Regra de L’Hospital nos diz que, se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Ou seja:
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador:
- Usando a regra do produto:
- Isso resulta em:
- Usando a regra do produto:
-
Derivada do denominador:
Passo 6
Agora, nosso limite fica:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Quando
se aproxima de 0:
-
e tendem a 1 -
e tendem a 0
Então, substituindo esses valores:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo
do campo vetorial
através da superfície
orientada para fora, nos casos abaixo. Sugestão: faça o gráfico da superfície para ajudá-lo na escolha do vetor normal
.
© e
é o hemisfério superior da esfera dado por
.
©
Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
ao longo:
(a) da reta que liga a
.
(a) da reta que liga
Use o Teorema da Divergência para provar que se
e
denota o volume do sólido de área superficial
, então o fluxo de
através de
é dado por:
Prove que se
é uma relação de equivalência em
, então o quociente
é uma partição de
.