Encontre o limite. Use a Regra de l lim x 0 cotg 2 x sen 6 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente o cálculo de limites usando a Regra de L’Hospital. Para resolver, vamos precisar entender como essa regra funciona e aplicá-la corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando funções trigonométricas básicas. Sabemos que limx to 0 cos(2x) cdot sin(6x)sin(2x) pode ser escrita como . Então, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0. Tanto quanto tendem a 0, e tende a 1. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , que é exatamente onde a Regra de L’Hospital entra em ação.

Passo 4

A Regra de L’Hospital nos diz que, se temos um limite da forma limx to 0 f(x)g(x) = limx to 0 f'(x)g'(x) ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Ou seja:

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
    • Usando a regra do produto:
    • Isso resulta em:
  • Derivada do denominador:

Passo 6

Agora, nosso limite fica:
limx to 0 6cos(2x)cos(6x) - 2sin(6x)sin(2x)2cos(2x)

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Quando 6 cdot 1 cdot 1 - 2 cdot 0 cdot 02 cdot 1 = 62 = 3 se aproxima de 0:
  • e tendem a 1
  • e tendem a 0
Então, substituindo esses valores:

Resposta

O limite é igual a .

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