Calcule o trabalho para se deslocar uma partícula no campo de forças
F = 3 x^2 i + (2 x z - y) j + z k
ao longo:
(a) da reta que liga (0, 0, 0) a 2, 1, 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força em um campo de forças quando uma partícula se move ao longo de uma reta específica. Isso envolve conceitos de trabalho e integrais de linha na física. Para isso, vamos precisar da expressão da força, da parametrização da trajetória e das integrais para calcular o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a trajetória que a partícula vai seguir. Ela vai se mover em uma reta que liga o ponto até o ponto . Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar essa reta usando um parâmetro , que varia de 0 a 1.
A parametrização da reta é dada por:
Aqui, corresponde ao ponto inicial e ao ponto final.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a força em termos de . A força dada é:
Substituindo , e na expressão da força:
Em seguida, encontramos a derivada da parametrização em relação a , que nos dá o vetor diferencial de deslocamento :
O trabalho é calculado pela integral da força ao longo do caminho:
Calculando o produto escalar :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:

Resposta

O trabalho realizado é 16 unidades de trabalho.

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