Use o Teorema da Divergência para provar que se e denota o volume do sólido de área superficial , então o fluxo de através de é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema da Divergência para provar que o fluxo do campo vetorial através de uma superfície que envolve um volume é igual a . Vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como calcular a divergência desse campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume delimitado por . Em fórmula:
Isso significa que, ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência no volume, o que muitas vezes é mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Onde , e são as componentes de . Para o nosso campo , temos:
Então,

Passo 4

Agora que temos a divergência, podemos substituir no Teorema da Divergência:
Como é constante, a integral fica:

Resposta

Portanto, o fluxo de através de é igual a .

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Encontre o limite. Use a Regra de l
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície orientada para fora, nos casos abaixo. Sugestão: faça o gráfico da superfície para ajudá-lo na escolha do vetor normal .
© e é o hemisfério superior da esfera dado por .
Prove que se é uma relação de equivalência em , então o quociente é uma partição de .
Seja uma função e considere a coleção
Prove que é uma partição de .