Use o Teorema da Divergência para provar que se F=x i+y j+z k e nu denota o volume do sólido de área superficial S, então o fluxo de F através de S é dado por:
Phi=integralS F cdot n d S=3 nu

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema da Divergência para provar que o fluxo do campo vetorial F = x i + y j + z k através de uma superfície S que envolve um volume nu é igual a 3 nu. Vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como calcular a divergência desse campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume nu delimitado por S. Em fórmula:
Phi = integralS F cdot n , dS = integralnu nabla cdot F , dV
Isso significa que, ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência no volume, o que muitas vezes é mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx, Fy e Fz são as componentes de F. Para o nosso campo F = x i + y j + z k, temos:
partial Fxpartial x = partial xpartial x = 1
partial Fypartial y = partial ypartial y = 1
partial Fzpartial z = partial zpartial z = 1
Então,
nabla cdot F = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Agora que temos a divergência, podemos substituir no Teorema da Divergência:
Phi = integralnu nabla cdot F , dV = integralnu 3 , dV
Como 3 é constante, a integral fica:
Phi = 3 integralnu dV = 3 nu

Resposta

Portanto, o fluxo de F através de S é igual a 3 nu.
Phi = 3 nu

Exercícios relacionados