Use o Teorema da Divergência para provar que se
e
denota o volume do sólido de área superficial
, então o fluxo de
através de
é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema da Divergência para provar que o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície
que envolve um volume
é igual a
. Vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como calcular a divergência desse campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
delimitado por
. Em fórmula:
Isso significa que, ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência no volume, o que muitas vezes é mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
são as componentes de
. Para o nosso campo
, temos:
Então,
Passo 4
Agora que temos a divergência, podemos substituir no Teorema da Divergência:
Como
é constante, a integral fica:
Resposta
Portanto, o fluxo de
através de
é igual a
.
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Encontre o limite. Use a Regra de l
Calcule o fluxo
do campo vetorial
através da superfície
orientada para fora, nos casos abaixo. Sugestão: faça o gráfico da superfície para ajudá-lo na escolha do vetor normal
.
© e
é o hemisfério superior da esfera dado por
.
©
Prove que se
é uma relação de equivalência em
, então o quociente
é uma partição de
.
Seja
uma função e considere a coleção
Prove que
é uma partição de
.