Use o Teorema da Divergência para provar que se
e
denota o volume do sólido de área superficial
, então o fluxo de
através de
é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema da Divergência para provar que o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície
que envolve um volume
é igual a
. Vamos precisar entender o que é o Teorema da Divergência e como calcular a divergência desse campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
delimitado por
. Em fórmula:
Isso significa que, ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência no volume, o que muitas vezes é mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
são as componentes de
. Para o nosso campo
, temos:
Então,
Passo 4
Agora que temos a divergência, podemos substituir no Teorema da Divergência:
Como
é constante, a integral fica:
Resposta
Portanto, o fluxo de
através de
é igual a
.