Calcule os fluxos em cada caso.
e é o hemisfério superior da esfera

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através de , que é o hemisfério superior da esfera . Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de e então integrar essa divergência sobre o volume delimitado pelo hemisfério.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de “fluxo” do campo que atravessa a superfície .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar o cálculo do fluxo através de uma superfície fechada em uma integral tripla da divergência do campo sobre o volume interno a essa superfície. A fórmula do teorema é:
onde é o volume limitado pela superfície .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . Dado:
A divergência é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então,

Passo 5

Observando que na esfera, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume do hemisfério. Como , a integral se simplifica para calcular o volume de .
é
Sabemos que o volume de uma esfera completa de raio é . Para um hemisfério, é metade disso:
é

Resposta

O fluxo é igual a .

Exercícios relacionados

Mostre que se é uma função continuamente diferenciável e , então .
Se , calcule para .
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :