Calcule os fluxos integral duplaU F cdot d S em cada caso.
F(x, y, z)=(z^2 x+2 y^2024, y^33+cos (sen(x z)), x^2 z+x^2+y^2) e U é o hemisfério superior (z >= 0) da esfera x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através de , que é o hemisfério superior da esfera . Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de e então integrar essa divergência sobre o volume delimitado pelo hemisfério.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de “fluxo” do campo que atravessa a superfície .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar o cálculo do fluxo através de uma superfície fechada em uma integral tripla da divergência do campo sobre o volume interno a essa superfície. A fórmula do teorema é:
integral duplaU F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
onde é o volume limitado pela superfície .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F(x, y, z) = (z^2 x + 2 y^2024, y^33 + cos (sin(x z)), x^2 z + x^2 + y^2) . Dado:
nabla cdot F = partialpartial x(z^2 x + 2 y^2024) + partialpartial y(y^33 + cos (sin(x z))) + partialpartial z(x^2 z + x^2 + y^2)
A divergência nabla cdot F = z^2 + y^2 + x^2 é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então,

Passo 5

Observando que nabla cdot F = 1 na esfera, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume integral triplaV 1 , dV = Volume do hemisfério do hemisfério. Como Volume do hemisfério = 12 times 43pi (1)^3 = 23pi , a integral se simplifica para calcular o volume de .
é
Sabemos que o volume de uma esfera completa de raio é . Para um hemisfério, é metade disso:
é

Resposta

O fluxo é igual a .

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