Calcule os fluxos
em cada caso.
e
é o hemisfério superior
da esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através de
, que é o hemisfério superior da esfera
. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de
e então integrar essa divergência sobre o volume delimitado pelo hemisfério.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo
mede a quantidade de “fluxo” do campo
que atravessa a superfície
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar o cálculo do fluxo através de uma superfície fechada em uma integral tripla da divergência do campo sobre o volume interno a essa superfície. A fórmula do teorema é:
onde
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. Dado:
A divergência
é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então,
Passo 5
Observando que
na esfera, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
do hemisfério. Como
, a integral se simplifica para calcular o volume de
.
Sabemos que o volume de uma esfera completa de raio
é
. Para um hemisfério, é metade disso:
Resposta
O fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
é uma função continuamente diferenciável e
, então
.
Se
, calcule
para
.
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
: