Se
, calcule
para
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício nos pede para calcular a divergência de um campo vetorial
, onde
é a norma do vetor
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência de um campo vetorial. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em um ponto. Em coordenadas cartesianas, para um campo
, a divergência é calculada como:
Então, nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de cada componente de
em relação à sua respectiva variável e somá-las.
Passo 3
Vamos então identificar as componentes do nosso campo vetorial
. Temos:
Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais. Vamos começar com
.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
De forma similar, vamos calcular
e
:
Passo 6
Agora, somamos as três derivadas parciais para obter a divergência:
Simplificando os numeradores:
Passo 7
Finalmente, simplificamos a expressão dividindo os termos:
Resposta
A divergência de
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule os fluxos
em cada caso.
, onde
é o hemisfério
, de orientação ascendente.
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue
onde
é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
.
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Mostre que se
é uma função continuamente diferenciável e
, então
.
Calcule os fluxos
em cada caso.
e
é o hemisfério superior
da esfera