Se , calcule para .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício nos pede para calcular a divergência de um campo vetorial , onde é a norma do vetor . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência de um campo vetorial. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por , mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em um ponto. Em coordenadas cartesianas, para um campo , a divergência é calculada como:
Então, nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de cada componente de em relação à sua respectiva variável e somá-las.

Passo 3

Vamos então identificar as componentes do nosso campo vetorial . Temos:
Ou seja,

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais. Vamos começar com .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

De forma similar, vamos calcular e :

Passo 6

Agora, somamos as três derivadas parciais para obter a divergência:
Simplificando os numeradores:

Passo 7

Finalmente, simplificamos a expressão dividindo os termos:

Resposta

A divergência de é dada por:

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, onde é o hemisfério , de orientação ascendente.
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico e o campo magnético , quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue
onde é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
.
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Mostre que se é uma função continuamente diferenciável e , então .
Calcule os fluxos em cada caso.
e é o hemisfério superior da esfera