Se F_p(x, y, z) = (x, y, z) / ||(x, y, z)||^p, calcule nabla . Fp para (x, y, z) não é igual a (0, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício nos pede para calcular a divergência de um campo vetorial , onde é a norma do vetor . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência de um campo vetorial. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por , mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em um ponto. Em coordenadas cartesianas, para um campo , a divergência é calculada como:
Então, nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de cada componente de em relação à sua respectiva variável e somá-las.

Passo 3

Vamos então identificar as componentes do nosso campo vetorial . Temos:
Ou seja,

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais. Vamos começar com .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

De forma similar, vamos calcular e :

Passo 6

Agora, somamos as três derivadas parciais para obter a divergência:
Simplificando os numeradores:

Passo 7

Finalmente, simplificamos a expressão dividindo os termos:

Resposta

A divergência de é dada por:

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