Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,1] times[0,1] : integral duplaR sen(x+y) d A

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor da integral dupla integral duplaR sen(x+y) , dA no retângulo R = [0,1] times [0,1]. Isso pertence ao conteúdo de cálculo de integrais duplas, onde vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular uma integral dupla sobre um retângulo, podemos integrar uma variável de cada vez. Podemos escolher integrar em relação a x primeiro e depois em relação a y, ou vice-versa. Vamos optar por integrar em relação a x primeiro.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
integral0^1 ( integral0^1 sen(x + y) , dx ) dy
Aqui, vamos primeiro calcular a integral interna integral0^1 sen(x + y) , dx.

Passo 4

Para integrar sen(x + y) em relação a x, tratamos y como uma constante. A integral de sen(u) em relação a u é -cos(u), onde u = x + y.

Passo 5

Aplicando a antiderivada, temos:
integral sen(x + y) , dx = -cos(x + y) + C
Agora, vamos avaliar essa expressão de x = 0 até x = 1.

Passo 6

Substituindo os limites na antiderivada:
-cos(1 + y) + cos(0 + y) = -cos(1 + y) + cos(y)
Agora, nossa integral iterada fica:
integral0^1 ( -cos(1 + y) + cos(y) ) dy

Passo 7

Vamos separar as integrais:
integral0^1 -cos(1 + y) , dy + integral0^1 cos(y) , dy

Passo 8

Primeiro, calculamos integral0^1 cos(y) , dy. A antiderivada de cos(y) é sen(y):
sen(1) - sen(0) = sen(1) - 0 = sen(1)

Passo 9

Agora, calculamos integral0^1 -cos(1 + y) , dy. Fazemos uma substituição u = 1 + y, então du = dy:
-integral1^2 cos(u) , du = -( sen(2) - sen(1) ) = -sen(2) + sen(1)

Passo 10

Somando as duas integrais calculadas:
sen(1) + (-sen(2) + sen(1)) = 2sen(1) - sen(2)

Resposta

O valor da integral dupla é 2,sen(1) - sen(2).

Exercícios relacionados