Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor da integral dupla
no retângulo
. Isso pertence ao conteúdo de cálculo de integrais duplas, onde vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis sobre uma região retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular uma integral dupla sobre um retângulo, podemos integrar uma variável de cada vez. Podemos escolher integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos optar por integrar em relação a
primeiro.
Passo 3
Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, vamos primeiro calcular a integral interna
.
Passo 4
Para integrar
em relação a
, tratamos
como uma constante. A integral de
em relação a
é
, onde
.
Passo 5
Aplicando a antiderivada, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão de
até
.
Passo 6
Substituindo os limites na antiderivada:
Agora, nossa integral iterada fica:
Passo 7
Vamos separar as integrais:
Passo 8
Primeiro, calculamos
. A antiderivada de
é
:
Passo 9
Agora, calculamos
. Fazemos uma substituição
, então
:
Passo 10
Somando as duas integrais calculadas:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule os fluxos
em cada caso.
e
é o hemisfério superior
da esfera
Calcule as integrais abaixo:
Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões abaixo: A região dentro do círculo
e fora de
.