Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor da integral dupla no retângulo . Isso pertence ao conteúdo de cálculo de integrais duplas, onde vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular uma integral dupla sobre um retângulo, podemos integrar uma variável de cada vez. Podemos escolher integrar em relação a primeiro e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos optar por integrar em relação a primeiro.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, vamos primeiro calcular a integral interna .

Passo 4

Para integrar em relação a , tratamos como uma constante. A integral de em relação a é , onde .

Passo 5

Aplicando a antiderivada, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão de até .

Passo 6

Substituindo os limites na antiderivada:
Agora, nossa integral iterada fica:

Passo 7

Vamos separar as integrais:

Passo 8

Primeiro, calculamos . A antiderivada de é :

Passo 9

Agora, calculamos . Fazemos uma substituição , então :

Passo 10

Somando as duas integrais calculadas:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Calcule os fluxos em cada caso.
e é o hemisfério superior da esfera
Calcule as integrais abaixo:
Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões abaixo: A região dentro do círculo e fora de .