Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: integral0^3 integral1^e^x 2 d y d x

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos desenhar a área onde vamos integrar, inverter a ordem de integração e calcular a integral resultante. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente de integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Para resolver, vamos identificar os limites da região de integração e ajustar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração originais na integral integral0^3 integral1^e^x 2 , dy , dx. Aqui, x varia de 0 a 3, e para cada valor de x, y varia de 1 até e^x. Vamos visualizar isso no plano xy para entender melhor a região de integração.

Passo 3

No plano xy, trace o eixo x de 0 a 3. Para cada x nesse intervalo, y começa em 1 e vai até e^x. A curva y = e^x é uma exponencial crescente. Então, a região de integração está limitada abaixo pela linha y = 1 e acima pela curva y = e^x, entre x = 0 e x = 3.

Passo 4

Agora vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de forma que y seja a variável externa e x a interna. Observamos que y varia de 1 até e^3 (porque quando x = 3, y = e^3). Para cada y, x varia de 0 até ln(y), já que y = e^x Rightarrow x = ln(y).

Passo 5

Com os novos limites, a integral invertida fica: integral1^e^3 integral0^lny 2 , dx , dy. Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos com respeito a x:
integral0^lny 2 , dx = 2x |0^lny = 2lny - 0 = 2lny
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral1^e^3 2lny , dy

Passo 7

Para resolver integral 2lny , dy, usamos a integração por partes. Seja u = lny e dv = dy, então du = 1y dy e v = y. Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral lny , dy = ylny - integral y cdot 1y dy = ylny - integral 1 , dy = ylny - y + C
Multiplicando por 2:
integral 2lny , dy = 2ylny - 2y + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a e^3:
2ylny - 2y |1^e^3 = [2e^3lne^3 - 2e^3] - [2(1)ln1 - 2(1)]
Sabemos que lne^3 = 3 e ln1 = 0, então:
= [2e^3 cdot 3 - 2e^3] - [0 - 2] = [6e^3 - 2e^3] + 2 = 4e^3 + 2

Resposta

A integral iterada invertida resulta em 4e^3 + 2.

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