Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos desenhar a área onde vamos integrar, inverter a ordem de integração e calcular a integral resultante. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente de integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Para resolver, vamos identificar os limites da região de integração e ajustar a integral de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração originais na integral . Aqui, varia de 0 a 3, e para cada valor de , varia de 1 até . Vamos visualizar isso no plano para entender melhor a região de integração.
Passo 3
No plano , trace o eixo de 0 a 3. Para cada nesse intervalo, começa em 1 e vai até . A curva é uma exponencial crescente. Então, a região de integração está limitada abaixo pela linha e acima pela curva , entre e .
Passo 4
Agora vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de forma que seja a variável externa e a interna. Observamos que varia de 1 até (porque quando , ). Para cada , varia de 0 até , já que .
Passo 5
Com os novos limites, a integral invertida fica: . Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos com respeito a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 7
Para resolver , usamos a integração por partes. Seja e , então e . Aplicando a fórmula de integração por partes :
Multiplicando por 2:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :