Mostre que se é uma função continuamente diferenciável e , então .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial. A gente precisa mostrar que se é uma função que pode ser diferenciada de maneira contínua e , então o rotacional de , que é , dá zero. Vamos precisar usar conceitos de rotacional e derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o campo vetorial . A expressão significa que depende apenas da distância do ponto até a origem, que a gente pode chamar de . Então, podemos reescrever como:
Onde .

Passo 3

Agora, para calcular o rotacional de , a gente usa a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Vamos calcular, por exemplo, :
Então,
Sabendo que e , temos:
De forma semelhante, podemos calcular as outras derivadas:

Passo 5

Agora, substituindo essas derivadas na expressão do rotacional:
Perceba que cada componente do rotacional está sendo subtraída por ela mesma, ou seja:

Resposta

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Se , calcule para .
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, onde é o hemisfério , de orientação ascendente.
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e é o hemisfério superior da esfera
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: