Mostre que se
é uma função continuamente diferenciável e
, então
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial. A gente precisa mostrar que se
é uma função que pode ser diferenciada de maneira contínua e
, então o rotacional de
, que é
, dá zero. Vamos precisar usar conceitos de rotacional e derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o campo vetorial
. A expressão
significa que
depende apenas da distância do ponto
até a origem, que a gente pode chamar de
. Então, podemos reescrever
como:
Onde
.
Passo 3
Agora, para calcular o rotacional de
, a gente usa a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Vamos calcular, por exemplo,
:
Então,
Sabendo que
e
, temos:
De forma semelhante, podemos calcular as outras derivadas:
Passo 5
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do rotacional:
Perceba que cada componente do rotacional está sendo subtraída por ela mesma, ou seja:
Resposta
Exercícios relacionados
Se
, calcule
para
.
Calcule os fluxos
em cada caso.
, onde
é o hemisfério
, de orientação ascendente.
Calcule os fluxos
em cada caso.
e
é o hemisfério superior
da esfera
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida: