Mostre que se f é uma função continuamente diferenciável e F(x, y, z) = f(||(x, y, z)||)(x, y, z), então nabla x F = 0.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial. A gente precisa mostrar que se f é uma função que pode ser diferenciada de maneira contínua e , então o rotacional de F, que é nabla x F, dá zero. Vamos precisar usar conceitos de rotacional e derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o campo vetorial F. A expressão significa que f depende apenas da distância do ponto (x, y, z) até a origem, que a gente pode chamar de r. Então, podemos reescrever F como:
Onde .

Passo 3

Agora, para calcular o rotacional de F, a gente usa a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Vamos calcular, por exemplo, :
Então,
Sabendo que e , temos:
De forma semelhante, podemos calcular as outras derivadas:

Passo 5

Agora, substituindo essas derivadas na expressão do rotacional:
Perceba que cada componente do rotacional está sendo subtraída por ela mesma, ou seja:

Resposta

Exercícios relacionados