Calcule os fluxos em cada caso (considere orientação positiva).
, onde é a esfera com raio e origem no centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de fluxos! O enunciado pede para calcular o fluxo da função vetorial sobre a superfície , que é uma esfera de raio com a origem no centro. Aqui, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência da função dentro do volume limitado por ela.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, . Vamos simplificar isso usando coordenadas esféricas, onde , então .

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a divergência de pode ser calculada usando a fórmula:
Sabemos que e .

Passo 4

Para , a derivada é . Então, substituindo na fórmula da divergência:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz:
Onde é o volume da esfera de raio . Substituindo a divergência que encontramos:

Passo 6

Em coordenadas esféricas, o volume integral fica:
Calculando a integral:

Passo 7

Substituindo de volta:

Resposta

O fluxo é .

Exercícios relacionados

Calcule para o campo e curva dados.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.
Calcule os fluxos em cada caso.
, onde é o cone , de orientação ascendente.
Calcule para o campo e curva orientada no sentido anti-horário (considere visto de cima nos casos em 3 dimensões) dados.
e a curva é dada pela união das curvas e , .