Calcule os fluxos integral duplaU F cdot d S em cada caso (considere orientação positiva).
F(x, y, z)=|(x, y, z)|^p(x, y, z), p >= 0, onde U é a esfera com raio R e origem no centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de fluxos! O enunciado pede para calcular o fluxo da função vetorial sobre a superfície , que é uma esfera de raio com a origem no centro. Aqui, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência da função dentro do volume limitado por ela.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, . Vamos simplificar isso usando coordenadas esféricas, onde , então .

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a divergência de nabla cdot (f(r)r) = f(r) cdot nabla cdot r + r cdot nabla f(r) pode ser calculada usando a fórmula:
Sabemos que e .

Passo 4

Para nabla cdot F = r^p cdot 3 + r cdot p r^p-1 = 3r^p + p r^p = (3 + p) r^p , a derivada é . Então, substituindo na fórmula da divergência:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz:
integral duplaU F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde integral triplaV (3 + p) r^p , dV é o volume da esfera de raio . Substituindo a divergência que encontramos:

Passo 6

Em coordenadas esféricas, o volume integral fica:
(3 + p) integral0^R r^p cdot 4pi r^2 , dr = 4pi (3 + p) integral0^R r^p + 2 , dr
Calculando a integral:
integral0^R r^p + 2 , dr = R^p + 3p + 3

Passo 7

Substituindo de volta:
4pi (3 + p) cdot R^p + 3p + 3 = 4pi R^p + 3

Resposta

O fluxo é .

Exercícios relacionados