Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
, onde
é a esfera com raio
e origem no centro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de fluxos! O enunciado pede para calcular o fluxo da função vetorial
sobre a superfície
, que é uma esfera de raio
com a origem no centro. Aqui,
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência da função dentro do volume limitado por ela.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
. Vamos simplificar isso usando coordenadas esféricas, onde
, então
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, a divergência de
pode ser calculada usando a fórmula:
Sabemos que
e
.
Passo 4
Para
, a derivada é
. Então, substituindo na fórmula da divergência:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz:
Onde
é o volume da esfera de raio
. Substituindo a divergência que encontramos:
Passo 6
Em coordenadas esféricas, o volume integral fica:
Calculando a integral:
Passo 7
Substituindo de volta:
Resposta
O fluxo é
.
Exercícios relacionados
Calcule
para o campo
e curva
dados.
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Calcule os fluxos
em cada caso.
, onde
é o cone
, de orientação ascendente.
Calcule
para o campo
e curva
orientada no sentido anti-horário (considere visto de cima nos casos em 3 dimensões) dados.
e a curva
é dada pela união das curvas
e
,
.