Calcule os fluxos em cada caso.
, onde é o cone , de orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo da rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é um cone definido por no intervalo , com orientação ascendente. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente rotacional, fluxo e Teorema de Stokes. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes para simplificar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a rotacional de um campo vetorial. A rotacional, representada por , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. O fluxo da rotacional sobre uma superfície é dado por:

Passo 3

Agora, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda dessa superfície. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Isso simplifica nosso cálculo, pois em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral de linha ao longo da borda do cone.

Passo 4

Vamos identificar a curva de contorno da superfície . A superfície é o cone para . No valor de , temos:
Então, a curva é o círculo no plano .

Passo 5

Vamos parametrizar a curva . Uma parametrização comum para um círculo de raio 1 é:
O vetor posição ao longo de é:
E o diferencial é a derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, vamos substituir na função usando a parametrização de :
Como em :

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos de a :
Vamos resolver essa integral em duas partes:
  1. (porque é uma função periódica com média zero)
  2. (usando a identidade )
Então:

Resposta

O fluxo é igual a .

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Calcule os fluxos em cada caso (considere orientação positiva).
, onde é a esfera com raio e origem no centro.
Calcule para o campo e curva dados.
Calcule para o campo e curva orientada no sentido anti-horário (considere visto de cima nos casos em 3 dimensões) dados.
e a curva é dada pela união das curvas e , .
Calcule os fluxos em cada caso (considere orientação positiva).
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos e .