Calcule os fluxos integral duplaU nabla times F cdot d S em cada caso.
F(x, y, z)=(arctan (x^2 y z^2), x^2+y^2+x, x^2 z^2), onde U é o cone z=1-raizx^2+y^2, 0 <= z <= 1, de orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo da rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é um cone definido por no intervalo , com orientação ascendente. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente rotacional, fluxo e Teorema de Stokes. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes para simplificar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a rotacional de um campo vetorial. A rotacional, representada por integral duplaU nabla times F cdot dS , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. O fluxo da rotacional sobre uma superfície é dado por:

Passo 3

Agora, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície integral duplaU nabla times F cdot dS = ointC F cdot dr com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda dessa superfície. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Isso simplifica nosso cálculo, pois em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral de linha ao longo da borda do cone.

Passo 4

Vamos identificar a curva de contorno 0 = 1 - raizx^2 + y^2 implies raizx^2 + y^2 = 1 implies x^2 + y^2 = 1 da superfície . A superfície é o cone para . No valor de , temos:
Então, a curva é o círculo no plano .

Passo 5

Vamos parametrizar a curva x = cos theta, y = sin theta, z = 0, theta in [0, 2pi] . Uma parametrização comum para um círculo de raio 1 é:
r(theta) = (cos theta, sin theta, 0)
O vetor posição ao longo de dr = (-sin theta, cos theta, 0) dtheta é:
E o diferencial é a derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, vamos substituir F(x, y, z) = ( arctan(x^2 y z^2), x^2 + y^2 + x, x^2 z^2 ) na função F(cos theta, sin theta, 0) = ( arctan(0), (cos theta)^2 + (sin theta)^2 + cos theta, 0 ) = ( 0, 1 + cos theta, 0 ) usando a parametrização de :
Como em :

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = (0, 1 + cos theta, 0) cdot (-sin theta, cos theta, 0) dtheta = (0)(-sin theta) + (1 + cos theta)(cos theta) + (0)(0) = (1 + cos theta)cos theta :
(1 + cos theta)cos theta = cos theta + cos^2 theta
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos ointC F cdot dr = integral0^2pi (cos theta + cos^2 theta) dtheta de ointC F cdot dr = 0 + pi = pi a :
Vamos resolver essa integral em duas partes:
  1. (porque é uma função periódica com média zero)
  2. (usando a identidade )
Então:

Resposta

O fluxo é igual a .

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