Calcule os fluxos
em cada caso.
, onde
é o cone
, de orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo da rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
, que é um cone definido por
no intervalo
, com orientação ascendente. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente rotacional, fluxo e Teorema de Stokes. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes para simplificar esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a rotacional de um campo vetorial. A rotacional, representada por
, mede a tendência do campo vetorial
de “girar” em torno de um ponto. O fluxo da rotacional sobre uma superfície
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo da rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície
com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda
dessa superfície. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Isso simplifica nosso cálculo, pois em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral de linha ao longo da borda do cone.
Passo 4
Vamos identificar a curva de contorno
da superfície
. A superfície
é o cone
para
. No valor de
, temos:
Então, a curva
é o círculo
no plano
.
Passo 5
Vamos parametrizar a curva
. Uma parametrização comum para um círculo de raio 1 é:
O vetor posição ao longo de
é:
E o diferencial
é a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na função
usando a parametrização de
:
Como
em
:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos
de
a
:
Vamos resolver essa integral em duas partes:
-
(porque é uma função periódica com média zero) -
(usando a identidade )
Então:
Resposta
O fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
, onde
é a esfera com raio
e origem no centro.
Calcule
para o campo
e curva
dados.
Calcule
para o campo
e curva
orientada no sentido anti-horário (considere visto de cima nos casos em 3 dimensões) dados.
e a curva
é dada pela união das curvas
e
,
.
Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
e
.