Calcule para o campo e curva dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por e a curva é definida por para entre 0 e 1. Vamos usar o conceito de integral de linha para campos vetoriais, que envolve parametrizar a curva e integrar o produto escalar do campo vetorial com a derivada da parametrização.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva usando . Já temos . Vamos chamar as componentes de e .

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Calculando:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir e nas componentes do campo :

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão de a :
Essas integrais podem ser desafiadoras para resolver analiticamente devido aos expoentes altos e às funções trigonométricas. Em situações práticas, seria comum usar métodos numéricos para aproximar o valor da integral.

Resposta

A integral é dada por:
Para obter um valor numérico preciso, recomenda-se utilizar métodos de integração numérica.

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.
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.
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, onde é a esfera com raio e origem no centro.
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