Calcule
para o campo
e curva
dados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado por
e a curva
é definida por
para
entre 0 e 1. Vamos usar o conceito de integral de linha para campos vetoriais, que envolve parametrizar a curva e integrar o produto escalar do campo vetorial com a derivada da parametrização.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
usando
. Já temos
. Vamos chamar as componentes de
e
.
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Calculando:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
nas componentes do campo
:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão:
Passo 7
Finalmente, integramos essa expressão de
a
:
Essas integrais podem ser desafiadoras para resolver analiticamente devido aos expoentes altos e às funções trigonométricas. Em situações práticas, seria comum usar métodos numéricos para aproximar o valor da integral.
Resposta
A integral
é dada por:
Para obter um valor numérico preciso, recomenda-se utilizar métodos de integração numérica.
Exercícios relacionados
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
, onde
é a esfera com raio
e origem no centro.
Calcule os fluxos
em cada caso.
, onde
é o cone
, de orientação ascendente.