Calcule integralC F cdot d r para o campo F e curva C dados.
F(x, y)=(cos y+x, y-x sen y), C: r(t)=(t^2024, pi t^10372), 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por e a curva é definida por para entre 0 e 1. Vamos usar o conceito de integral de linha para campos vetoriais, que envolve parametrizar a curva e integrar o produto escalar do campo vetorial com a derivada da parametrização.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva usando . Já temos . Vamos chamar as componentes de e .

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar a derivada de ddtx(t) = 2024 cdot t^2023 em relação a ddty(t) = pi2 cdot 1037 cdot t^1036 , que é . Calculando:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir F(r(t)) = (cos(pi t^10372) + t^2024, pi t^10372 - t^2024 sin(pi t^10372)) e nas componentes do campo :

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar F cdot r' = (cos(pi t^10372) + t^2024) cdot 2024 t^2023 + (pi t^10372 - t^2024 sin(pi t^10372)) cdot 1037 pi2 t^1036 :

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
F cdot r' = 2024 t^2023 cos(pi t^10372) + 2024 t^2023 + 2024 + 1037 pi2 t^1036 + 1037 - 1037 pi2 t^1036 + 2024 sin(pi t^10372)
= 2024 t^2023 cos(pi t^10372) + 2024 t^4047 + 1037 pi2 t^2073 - 1037 pi2 t^305960 sin(pi t^10372)

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão de integral0^1 [2024 t^2023 cos(pi t^10372) + 2024 t^4047 + 1037 pi2 t^2073 - 1037 pi2 t^305960 sin(pi t^10372)] dt a :
Essas integrais podem ser desafiadoras para resolver analiticamente devido aos expoentes altos e às funções trigonométricas. Em situações práticas, seria comum usar métodos numéricos para aproximar o valor da integral.

Resposta

A integral integral0^1 [2024 t^2023 cos(pi t^10372) + 2024 t^4047 + 1037 pi2 t^2073 - 1037 pi2 t^305960 sin(pi t^10372)] dt é dada por:
Para obter um valor numérico preciso, recomenda-se utilizar métodos de integração numérica.

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