Calcule
para o campo
e curva
orientada no sentido anti-horário (considere visto de cima nos casos em 3 dimensões) dados.
e a curva
é dada pela união das curvas
e
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
, que é a união das curvas
e
no intervalo
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e vamos precisar parametrizar cada parte da curva para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva
em duas partes:
onde
e
onde
. Isso facilita a parametrização e o cálculo da integral em cada segmento.
Passo 3
Vamos parametrizar
. Como
é dada por
, podemos usar
como parâmetro:
onde
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar
. Para
, onde
, também usamos
como parâmetro:
onde
varia de
a
.
Passo 5
A integral de linha
pode ser dividida em duas integrais sobre
e
:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 6
Para
, calculamos
:
Agora, avaliamos
em
:
O produto escalar
é:
Então, a integral em
fica:
Passo 7
Para
, calculamos
:
Avaliamos
em
:
O produto escalar
é:
Então, a integral em
fica:
Passo 8
Agora, somamos as duas integrais:
Essa expressão pode ser calculada numericamente para obter o valor final.
Resposta
Após calcular as integrais, o valor final da integral de linha
é aproximadamente 0.
Exercícios relacionados
Calcule os fluxos
em cada caso.
, onde
é o cone
, de orientação ascendente.
Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
, onde
é a esfera com raio
e origem no centro.
Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
e
.
Imagine que na coleção de livros anteriores, 3 livros de cálculo eram iguais. Agora, de quantas maneiras é possível ordenar os livros se:
a) Não colocarmos nenhuma restrição.
a) Não colocarmos nenhuma restrição.