Calcule para o campo e curva orientada no sentido anti-horário (considere visto de cima nos casos em 3 dimensões) dados.
e a curva é dada pela união das curvas e , .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha para o campo ao longo da curva , que é a união das curvas e no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e vamos precisar parametrizar cada parte da curva para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva em duas partes: onde e onde . Isso facilita a parametrização e o cálculo da integral em cada segmento.

Passo 3

Vamos parametrizar . Como é dada por , podemos usar como parâmetro:
onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar . Para , onde , também usamos como parâmetro:
onde varia de a .

Passo 5

A integral de linha pode ser dividida em duas integrais sobre e :
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 6

Para , calculamos :
Agora, avaliamos em :
O produto escalar é:
Então, a integral em fica:

Passo 7

Para , calculamos :
Avaliamos em :
O produto escalar é:
Então, a integral em fica:

Passo 8

Agora, somamos as duas integrais:
Essa expressão pode ser calculada numericamente para obter o valor final.

Resposta

Após calcular as integrais, o valor final da integral de linha é aproximadamente 0.

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