Calcule integralC F cdot d r para o campo F e curva C orientada no sentido anti-horário (considere visto de cima nos casos em 3 dimensões) dados.
F(x, y)=(x y+e^sen x, x^2+ln raizy^2+1) e a curva C é dada pela união das curvas y=cos x e y=-sen x, -pi4 <= x <= 3 pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha para o campo ao longo da curva , que é a união das curvas e no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e vamos precisar parametrizar cada parte da curva para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva em duas partes: onde e onde . Isso facilita a parametrização e o cálculo da integral em cada segmento.

Passo 3

Vamos parametrizar Para C1: x = t y = cos t . Como é dada por , podemos usar como parâmetro:
onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar Para C2: x = t y = -sin t . Para , onde , também usamos como parâmetro:
onde varia de a .

Passo 5

A integral de linha integralC F cdot dr = integralC1 F cdot dr + integralC2 F cdot dr pode ser dividida em duas integrais sobre e :
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 6

Para dr = ( dxdt, dydt ) dt = (1, -sin t ) dt , calculamos F(t) = (t cos t + e^sin t, t^2 + ln raizcos^2 t + 1 ) :
F cdot dr = (t cos t + e^sin t)(1) + (t^2 + ln raizcos^2 t + 1)(-sin t)
Agora, avaliamos integralC1 F cdot dr = integral-pi4^pi4 [ t cos t + e^sin t - sin t (t^2 + ln raizcos^2 t + 1) ] dt em :
O produto escalar é:
Então, a integral em fica:

Passo 7

Para dr = ( dxdt, dydt ) dt = (1, -cos t ) dt , calculamos F(t) = (t (-sin t) + e^sin t, t^2 + ln raizsin^2 t + 1 ) :
F cdot dr = (-t sin t + e^sin t)(1) + (t^2 + ln raizsin^2 t + 1)(-cos t)
Avaliamos integralC2 F cdot dr = integralpi4^3pi4 [ -t sin t + e^sin t - cos t (t^2 + ln raizsin^2 t + 1) ] dt em :
O produto escalar é:
Então, a integral em fica:

Passo 8

Agora, somamos as duas integrais:
integralC F cdot dr = integral-pi4^pi4 [ t cos t + e^sin t - sin t (t^2 + ln raizcos^2 t + 1) ] dt + integralpi4^3pi4 [ -t sin t + e^sin t - cos t (t^2 + ln raizsin^2 t + 1) ] dt
Essa expressão pode ser calculada numericamente para obter o valor final.

Resposta

Após calcular as integrais, o valor final da integral de linha é aproximadamente 0.

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