Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, temos que encontrar uma função tal que o gradiente de ( ) seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Isso significa que existem funções tal que:
Além disso, para que um campo seja conservativo, ele precisa satisfazer certas condições de equivalência entre as derivadas parciais cruzadas.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo satisfaz essas condições. Em três dimensões, as condições para ser conservativo são:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada:

  1. Aqui vemos que a menos que , o que não é sempre verdade.

  2. Novamente, a menos que , o que também não é sempre verdade.

  3. Aqui, a menos que , o que não é sempre verdade.

Passo 5

Como em todas as verificações encontrávamos desigualdades que não são satisfatórias para valores gerais de e , concluímos que o campo não satisfaz as condições de conservatividade.

Resposta

O campo não é conservativo.

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Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
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Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo, encontre tal que .
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Calcule para o campo e curva dados.
Calcule os fluxos em cada caso (considere orientação positiva).
, onde é a esfera com raio e origem no centro.