Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, temos que encontrar uma função
tal que o gradiente de
(
) seja igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Isso significa que existem funções
tal que:
Além disso, para que um campo seja conservativo, ele precisa satisfazer certas condições de equivalência entre as derivadas parciais cruzadas.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo
satisfaz essas condições. Em três dimensões, as condições para
ser conservativo são:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada:
-
Aqui vemos quea menos que , o que não é sempre verdade. -
Novamente,a menos que , o que também não é sempre verdade. -
Aqui,a menos que , o que não é sempre verdade.
Passo 5
Como em todas as verificações encontrávamos desigualdades que não são satisfatórias para valores gerais de
e
, concluímos que o campo
não satisfaz as condições de conservatividade.
Resposta
O campo
não é conservativo.
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Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Determine se o campo
é conservativo. Em caso afirmativo, encontre
tal que
.
.
Calcule
para o campo
e curva
dados.
Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
, onde
é a esfera com raio
e origem no centro.