Calcule os fluxos
em cada caso (considere orientação positiva).
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
que é a caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita bastante esse tipo de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
delimitado por
. Em fórmula:
Isso significa que, ao invés de calcular o fluxo em cada face da caixa individualmente, a gente calcula a divergência de
e integra isso no volume todo. Muito mais prático!
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume da caixa. A caixa está delimitada por
,
, e
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integraremos em relação a
:
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo
é igual a
.