Calcule os fluxos em cada caso (considere orientação positiva).
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície que é a caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , e . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita bastante esse tipo de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por . Em fórmula:
Isso significa que, ao invés de calcular o fluxo em cada face da caixa individualmente, a gente calcula a divergência de e integra isso no volume todo. Muito mais prático!

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume da caixa. A caixa está delimitada por , , e . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integraremos em relação a :
Por último, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo é igual a .

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e a curva é dada pela união das curvas e , .
Calcule os fluxos em cada caso.
, onde é o cone , de orientação ascendente.
Imagine que na coleção de livros anteriores, 3 livros de cálculo eram iguais. Agora, de quantas maneiras é possível ordenar os livros se:
a) Não colocarmos nenhuma restrição.
O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo , onde é pequeno. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no comprimento da diagonal calculada.