Calcule os fluxos integral duplaU F cdot d S em cada caso (considere orientação positiva).
F(x, y, z)=(x y e^z, x y^2 z^3,-y e^z), U é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=2 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x y e^z, x y^2 z^3, -y e^z) através da superfície U que é a caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=2 e z=1. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita bastante esse tipo de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo do campo vetorial F através da superfície fechada U é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V delimitado por U. Em fórmula:
integral duplaU F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que, ao invés de calcular o fluxo em cada face da caixa individualmente, a gente calcula a divergência de F e integra isso no volume todo. Muito mais prático!

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aplicando isso ao nosso F:
partialpartial x(x y e^z) = y e^z
partialpartial y(x y^2 z^3) = 2x y z^3
partialpartial z(-y e^z) = -y e^z
Então, a divergência fica:
nabla cdot F = y e^z + 2x y z^3 - y e^z = 2x y z^3

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume da caixa. A caixa está delimitada por 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 2, e 0 <= z <= 1. Então, a integral fica:
integral triplaV 2x y z^3 , dV = integral0^3 integral0^2 integral0^1 2x y z^3 , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 2x y z^3 , dz = 2x y [ z^44 ]0^1 = 2x y ( 14 - 0 ) = 12 x y
Agora, integraremos em relação a y:
integral0^2 12 x y , dy = 12 x [ y^22 ]0^2 = 12 x ( 42 - 0 ) = 12 x cdot 2 = x
Por último, integramos em relação a x:
integral0^3 x , dx = [ x^22 ]0^3 = 92 - 0 = 92

Resposta

O fluxo integral duplaU F cdot dS é igual a dfrac92.

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