O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo , onde é pequeno. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no comprimento da diagonal calculada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão fala sobre um retângulo onde o comprimento (l) e a largura (w) são medidos com um erro máximo de . Queremos usar diferenciais para descobrir qual é o erro percentual máximo na medida da diagonal desse retângulo. Então, a matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o uso de diferenciais para aproximar erros em medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fórmula da diagonal do retângulo. Sabemos que, num retângulo, a diagonal (d) pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:

Passo 3

Agora, vamos usar diferenciais para encontrar como pequenas variações em l e w afetam d. O diferencial da função d em relação a l e w é dado por:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Então, substituindo na expressão do diferencial:

Passo 5

Agora, vamos expressar os erros relativos. Sabemos que e . Substituindo esses valores:

Passo 6

Lembrando que , substituímos na equação:
Isso significa que o erro absoluto na diagonal é vezes a diagonal.

Passo 7

Para encontrar o erro percentual na diagonal, dividimos o erro absoluto pela diagonal:

Resposta

O erro percentual máximo na diagonal calculada é aproximadamente .

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a) Não colocarmos nenhuma restrição.
Calcule os fluxos em cada caso (considere orientação positiva).
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