O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo
, onde
é pequeno. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no comprimento da diagonal calculada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão fala sobre um retângulo onde o comprimento (l) e a largura (w) são medidos com um erro máximo de
. Queremos usar diferenciais para descobrir qual é o erro percentual máximo na medida da diagonal desse retângulo. Então, a matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o uso de diferenciais para aproximar erros em medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a fórmula da diagonal do retângulo. Sabemos que, num retângulo, a diagonal (d) pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
Passo 3
Agora, vamos usar diferenciais para encontrar como pequenas variações em l e w afetam d. O diferencial da função d em relação a l e w é dado por:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, substituindo na expressão do diferencial:
Passo 5
Agora, vamos expressar os erros relativos. Sabemos que
e
. Substituindo esses valores:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos na equação:
Isso significa que o erro absoluto na diagonal é
vezes a diagonal.
Passo 7
Para encontrar o erro percentual na diagonal, dividimos o erro absoluto pela diagonal:
Resposta
O erro percentual máximo na diagonal calculada é aproximadamente
.