Calcule os fluxos em cada caso.
, onde é o hemisfério , de orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo da rotacional de um campo vetorial sobre um hemisfério . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o uso do rotacional e integração de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e aplicar teoremas como o de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de , usamos a seguinte fórmula:

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional de .
Primeiro, calculamos:
Então, a primeira componente do rotacional é:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda componente:
Então, a segunda componente do rotacional é:

Passo 5

Por fim, calculamos a terceira componente:
Então, a terceira componente do rotacional é:

Passo 6

Agora que temos o rotacional de , precisamos calcular o fluxo dessa rotacional sobre a superfície , que é o hemisfério , , com orientação ascendente.
O fluxo é dado por:

Passo 7

Para simplificar, podemos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de com a integral de linha de ao redor da fronteira de . A fronteira deste hemisfério é o círculo , .
Segundo o Teorema de Stokes:

Passo 8

Vamos parametrizar a curva como:
Então, o vetor tangente é:

Passo 9

Agora, avaliamos o campo na curva parametrizada:
Simplificando:

Passo 10

Calculamos o produto escalar :

Passo 11

Integrando ao longo de de a :
Sabemos que:
Então:

Resposta

O fluxo é igual a .

Exercícios relacionados

As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico e o campo magnético , quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue
onde é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
.
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Prove as seguintes identidades (assuma as funções continuamente deriváveis duas vezes). .
Se , calcule para .
Mostre que se é uma função continuamente diferenciável e , então .