Calcule os fluxos integral duplaU nabla times F cdot d S em cada caso.
F(x, y, z)=(2 y cos z, e^x^2+y z sen z, x e^y z^2), onde U é o hemisfério x^2+y^2+z^2=9, z >= 0, de orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo da rotacional de um campo vetorial F sobre um hemisfério U. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o uso do rotacional e integração de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e aplicar teoremas como o de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de F, usamos a seguinte fórmula:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional de F(x, y, z)=(2 y cos z, e^x^2+y z sin z, x e^y z^2).
Primeiro, calculamos:
partial F3partial y = partialpartial y ( x e^y z^2 ) = x z^2 e^y z^2
partial F2partial z = partialpartial z ( e^x^2+y z sin z ) = e^x^2+y z cos z + y e^x^2+y z sin z
Então, a primeira componente do rotacional é:
(nabla times F)1 = x z^2 e^y z^2 - ( e^x^2+y z cos z + y e^x^2+y z sin z )

Passo 4

Agora, calculamos a segunda componente:
partial F1partial z = partialpartial z ( 2 y cos z ) = -2 y sin z
partial F3partial x = partialpartial x ( x e^y z^2 ) = e^y z^2
Então, a segunda componente do rotacional é:
(nabla times F)2 = -2 y sin z - e^y z^2

Passo 5

Por fim, calculamos a terceira componente:
partial F2partial x = partialpartial x ( e^x^2+y z sin z ) = 2 x e^x^2+y z sin z
partial F1partial y = partialpartial y ( 2 y cos z ) = 2 cos z
Então, a terceira componente do rotacional é:
(nabla times F)3 = 2 x e^x^2+y z sin z - 2 cos z

Passo 6

Agora que temos o rotacional de F, precisamos calcular o fluxo dessa rotacional sobre a superfície U, que é o hemisfério x^2+y^2+z^2=9, z >= 0, com orientação ascendente.
O fluxo é dado por:
integral duplaU (nabla times F) cdot dS

Passo 7

Para simplificar, podemos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de F com a integral de linha de F ao redor da fronteira de U. A fronteira partial U deste hemisfério é o círculo x^2+y^2=9, z=0.
Segundo o Teorema de Stokes:
integral duplaU (nabla times F) cdot dS = ointpartial U F cdot dr

Passo 8

Vamos parametrizar a curva partial U como:
r(t) = (3 cos t, 3 sin t, 0), t in [0, 2pi]
Então, o vetor tangente é:
dr = drdt dt = (-3 sin t, 3 cos t, 0) dt

Passo 9

Agora, avaliamos o campo F na curva parametrizada:
F(r(t)) = (2 cdot 3 sin t cdot cos 0, e^(3 cos t)^2 + 3 sin t cdot 0 sin 0, 3 cos t cdot e^3 sin t cdot 0^2 ) = (6 sin t, e^9 cos^2 t cdot 0, 3 cos t)
Simplificando:
F(r(t)) = (6 sin t, 0, 3 cos t)

Passo 10

Calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = 6 sin t cdot (-3 sin t) + 0 cdot 3 cos t + 3 cos t cdot 0 = -18 sin^2 t

Passo 11

Integrando ao longo de t de 0 a 2pi:
ointpartial U F cdot dr = integral0^2pi -18 sin^2 t , dt = -18 integral0^2pi sin^2 t , dt
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2 t , dt = pi
Então:
-18 cdot pi = -18pi

Resposta

O fluxo integral duplaU nabla times F cdot d S é igual a -18pi.

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