Calcule os fluxos
em cada caso.
, onde
é o hemisfério
, de orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo da rotacional de um campo vetorial
sobre um hemisfério
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o uso do rotacional e integração de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular integrais de superfície e aplicar teoremas como o de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de
, usamos a seguinte fórmula:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional de
.
Primeiro, calculamos:
Então, a primeira componente do rotacional é:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda componente:
Então, a segunda componente do rotacional é:
Passo 5
Por fim, calculamos a terceira componente:
Então, a terceira componente do rotacional é:
Passo 6
Agora que temos o rotacional de
, precisamos calcular o fluxo dessa rotacional sobre a superfície
, que é o hemisfério
,
, com orientação ascendente.
O fluxo é dado por:
Passo 7
Para simplificar, podemos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de
com a integral de linha de
ao redor da fronteira de
. A fronteira
deste hemisfério é o círculo
,
.
Segundo o Teorema de Stokes:
Passo 8
Vamos parametrizar a curva
como:
Então, o vetor tangente é:
Passo 9
Agora, avaliamos o campo
na curva parametrizada:
Simplificando:
Passo 10
Calculamos o produto escalar
:
Passo 11
Integrando ao longo de
de
a
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue
onde
é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
.
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Prove as seguintes identidades (assuma as funções continuamente deriváveis duas vezes).
.
Se
, calcule
para
.
Mostre que se
é uma função continuamente diferenciável e
, então
.