As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue
onde
é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
.
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve as Equações de Maxwell, que relacionam os campos elétrico (
) e magnético (
) em uma região sem carga nem corrente. Nosso objetivo é mostrar que a Laplaciana de B (
) é igual a 1 dividido pela velocidade da luz ao quadrado (
) vezes a segunda derivada temporal de B (
). Para resolver isso, vamos precisar das Equações de Maxwell que você forneceu e alguns conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell que temos:
Elas dizem como os campos elétrico e magnético se relacionam e mudam no tempo.
Passo 3
Nosso objetivo é derivar uma equação para
que se pareça com a equação das ondas:
Para chegar lá, vamos usar a segunda equação de Maxwell para expressar
e a quarta equação de Maxwell para expressar
.
Passo 4
Primeiro, vamos aplicar o operador rotacional novamente na segunda equação de Maxwell:
Usamos a propriedade vetorial que diz que
. Como
, a equação simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos
pela quarta equação de Maxwell:
Simplificando:
Isso nos dá a equação das ondas para o campo elétrico
. Agora, precisamos fazer algo semelhante para o campo magnético
.
Passo 6
Vamos repetir o processo para a segunda equação de Maxwell, mas agora focando em
. Aplicamos o rotacional novamente:
Usando a mesma propriedade vetorial:
Como
, temos:
Passo 7
Simplificando a equação acima:
Resposta
Pronto! Demonstramos que:
Isso mostra que o campo magnético
satisfaz a equação das ondas, semelhante ao campo elétrico
.