As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue
& nabla cdot E=0 & nabla times E=-1c partial Bpartial t & nabla cdot B=0 & nabla times B=1c partial Epartial t
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
De.
Dica: Para as letras © e (d) use 1.(b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve as Equações de Maxwell, que relacionam os campos elétrico ( E) e magnético ( B) em uma região sem carga nem corrente. Nosso objetivo é mostrar que a Laplaciana de B ( De) é igual a 1 dividido pela velocidade da luz ao quadrado ( 1/c^2) vezes a segunda derivada temporal de B ( partial^2 B / partial t^2). Para resolver isso, vamos precisar das Equações de Maxwell que você forneceu e alguns conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as Equações de Maxwell que temos:
& nabla cdot E=0 & nabla times E=-1c partial Bpartial t & nabla cdot B=0 & nabla times B=1c partial Epartial t
Elas dizem como os campos elétrico e magnético se relacionam e mudam no tempo.

Passo 3

Nosso objetivo é derivar uma equação para B que se pareça com a equação das ondas:
De
Para chegar lá, vamos usar a segunda equação de Maxwell para expressar nabla times E e a quarta equação de Maxwell para expressar nabla times B.

Passo 4

Primeiro, vamos aplicar o operador rotacional novamente na segunda equação de Maxwell:
nabla times (nabla times E) = nabla times (-1c partial Bpartial t)
Usamos a propriedade vetorial que diz que nabla times (nabla times A) = nabla(nabla cdot A) - De. Como nabla cdot E = 0, a equação simplifica para:
-De

Passo 5

Agora, substituímos nabla times B pela quarta equação de Maxwell:
-De
Simplificando:
De
Isso nos dá a equação das ondas para o campo elétrico E. Agora, precisamos fazer algo semelhante para o campo magnético B.

Passo 6

Vamos repetir o processo para a segunda equação de Maxwell, mas agora focando em B. Aplicamos o rotacional novamente:
nabla times (nabla times B) = nabla times (1c partial Epartial t)
Usando a mesma propriedade vetorial:
nabla(nabla cdot B) - De
Como nabla cdot B = 0, temos:
-De

Passo 7

Simplificando a equação acima:
De

Resposta

Pronto! Demonstramos que:
De
Isso mostra que o campo magnético B satisfaz a equação das ondas, semelhante ao campo elétrico E.

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