Prove as seguintes identidades (assuma as funções continuamente deriváveis duas vezes). .

Passo 1

Resumo da questão: Precisamos provar a identidade vetorial , onde é um campo vetorial duas vezes continuamente diferenciável. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente ( ), divergente ( ), rotacional ( ) e Laplaciano ( ).

Passo 2

Entendendo os operadores:
  • Gradiente ( ): Aplica-se a funções escalares e resulta em um campo vetorial que indica a direção de maior crescimento da função.
  • Divergente ( ): Aplica-se a campos vetoriais e resulta em uma função escalar que mede a “taxa de expansão” do campo.
  • Rotacional ( ): Aplica-se a campos vetoriais e resulta em outro campo vetorial que indica a tendência de rotação do campo.
  • Laplaciano ( ): Aplica-se a funções escalares e resulta em uma função que combina as segundas derivadas.

Passo 3

Expandindo : Vamos calcular o rotacional do rotacional de . Para isso, trabalharemos com as componentes de .

Passo 4

Considerando as componentes de : Seja , onde , e são funções das coordenadas espaciais.

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, calculando : Aplicamos o rotacional novamente ao resultado obtido no Passo 5.

Passo 7

Calculando : Primeiro, encontramos :
Então, o gradiente desse escalar é:

Passo 8

Calculando o Laplaciano de :
onde cada componente do Laplaciano é:
e de forma semelhante para e .

Passo 9

Comparando as expressões: Subtraindo de , obtemos:
Esta expressão deve ser igual a , conforme a identidade que queremos provar.

Resposta

Assim, demonstramos que , validando a identidade proposta.

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