Prove as seguintes identidades (assuma as funções continuamente deriváveis duas vezes).
.
Passo 1
Resumo da questão: Precisamos provar a identidade vetorial
, onde
é um campo vetorial duas vezes continuamente diferenciável. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente (
), divergente (
), rotacional (
) e Laplaciano (
).
Passo 2
Entendendo os operadores:
- Gradiente (
): Aplica-se a funções escalares e resulta em um campo vetorial que indica a direção de maior crescimento da função. - Divergente (
): Aplica-se a campos vetoriais e resulta em uma função escalar que mede a “taxa de expansão” do campo. - Rotacional (
): Aplica-se a campos vetoriais e resulta em outro campo vetorial que indica a tendência de rotação do campo. - Laplaciano (
): Aplica-se a funções escalares e resulta em uma função que combina as segundas derivadas.
Passo 3
Expandindo
: Vamos calcular o rotacional do rotacional de
. Para isso, trabalharemos com as componentes de
.
Passo 4
Considerando as componentes de
: Seja
, onde
,
e
são funções das coordenadas espaciais.
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, calculando
: Aplicamos o rotacional novamente ao resultado obtido no Passo 5.
Passo 7
Calculando
: Primeiro, encontramos
:
Então, o gradiente desse escalar é:
Passo 8
Calculando o Laplaciano de
:
onde cada componente do Laplaciano é:
e de forma semelhante para
e
.
Passo 9
Comparando as expressões: Subtraindo
de
, obtemos:
Esta expressão deve ser igual a
, conforme a identidade que queremos provar.
Resposta
Assim, demonstramos que
, validando a identidade proposta.