Calcule e para a função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as segundas derivadas parciais de uma função de duas variáveis. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais. Precisamos entender como derivar em relação a e , e depois derivar novamente para obter as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , que vamos chamar de . A função que temos é:
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar :

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial mista . Isso significa que primeiro derivamos em relação a e depois em relação a :
Como não depende de , sua derivada em relação a é zero. Já a derivada de em relação a é:

Passo 5

Por último, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Resposta

As segundas derivadas parciais da função são:

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