Calcule
e
para a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as segundas derivadas parciais de uma função de duas variáveis. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais. Precisamos entender como derivar em relação a
e
, e depois derivar novamente para obter as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, que vamos chamar de
. A função que temos é:
Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial mista
. Isso significa que primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
:
Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero. Já a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Por último, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Resposta
As segundas derivadas parciais da função são:
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, calcule
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.
Mostre que, se
então
.