Calcule a função dada nos pontos indicados.
b)
(i)
b)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a função
no ponto
. Aqui, vamos trabalhar com números complexos e usar a fórmula de Euler para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que é uma ferramenta super útil quando trabalhamos com exponenciais de números complexos. A fórmula diz que:
Isso significa que podemos expressar uma exponencial complexa em termos de funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula de Euler à nossa função. Temos:
Comparando com a fórmula de Euler, aqui
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular
e
. Sabemos que:
Passo 5
Substituindo esses valores de volta na expressão, temos:
Resposta
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Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
c)
c)
Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
c)
c)
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
b)
b)
Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
c)
c)