Calcule a função dada nos pontos indicados.
b) f(z)=e^z
(i) pi i / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular a função no ponto . Aqui, vamos trabalhar com números complexos e usar a fórmula de Euler para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que é uma ferramenta super útil quando trabalhamos com exponenciais de números complexos. A fórmula diz que:
e^itheta = cos(theta) + isin(theta)
Isso significa que podemos expressar uma exponencial complexa em termos de funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de Euler à nossa função. Temos:
f(pi i4) = e^pi i4
Comparando com a fórmula de Euler, aqui e^pi i4 = cos(pi4) + isin(pi4) . Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular cos(pi4) = raiz22 e sin(pi4) = raiz22 . Sabemos que:

Passo 5

Substituindo esses valores de volta na expressão, temos:
e^pi i4 = raiz22 + i(raiz22)

Resposta

f(pi i4) = raiz22 + i,raiz22

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