Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
c) f(z)=(2 z-1 / z)^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o das regras de derivação, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente. Precisamos aplicar essas regras para encontrar a derivada dessa função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisam das regras de derivação. Temos uma função composta levantada a uma potência, então vamos usar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia diz que, se temos uma função composta , a derivada é .

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, vamos diferenciar a parte externa e a interna da função. A parte externa é ddz ( u )^6 = 6 ( u )^5 cdot dudz e a parte interna é .
Primeiro, diferenciamos a parte externa:
Aqui, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da parte interna ddz ( f(z)g(z) ) = f'(z)g(z) - f(z)g'(z)[g(z)]^2 . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular f'(z) = ddz (2z - 1) = 2 e g'(z) = ddz (z) = 1 :
dudz = 2 cdot z - (2z - 1) cdot 1z^2 = 2z - 2z + 1z^2 = 1z^2
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 6

Voltando à Regra da Cadeia, substituímos dfdz = 6 ( 2z - 1z )^5 cdot 1z^2 na expressão:

Resposta

A derivada da função é:
f'(z) = 6 (2z - 1)^5z^7

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
c) lim z 1+i z^2-2 z+2z^2-2 i
Expresse na forma a+ib
a) e^1+5 pi6 e^-1-pi3 i
Calcule a função dada nos pontos indicados.
b) f(z)=e^z
(i) pi i / 4
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
b) f(z)=4 z-6 barz+3