Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função complexa
, onde
. O objetivo é mostrar que essa função é analítica em domínios apropriados. Para isso, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a função
em suas partes real e imaginária. Isso significa escrever
, onde:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Vamos lá:
Passo 4
As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função
ser analítica, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Vamos verificar isso com as derivadas que calculamos.
Passo 5
Vamos comparar as derivadas:
-
e Aqui, vemos que, então a primeira equação está satisfeita. -
e Aqui também,, então a segunda equação também está satisfeita.
Passo 6
Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas (já que são polinômios em
e
), podemos concluir que a função
é analítica em todo o plano complexo
.
Resposta
A função
é analítica em todo o plano complexo
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
b)
b)
Calcule a função dada nos pontos indicados.
b)
(i)
b)
(i)
Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
b)
b)
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
d)
d)