Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
c) f(z)=4 x^2+5 x-4 y^2+9+i(8 x y+5 y-1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função complexa , onde . O objetivo é mostrar que essa função é analítica em domínios apropriados. Para isso, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função u(x, y) = 4x^2 + 5x - 4y^2 + 9 em suas partes real e imaginária. Isso significa escrever v(x, y) = 8xy + 5y - 1 , onde:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = 8x + 5 e partial upartial y = -8y em relação a partial vpartial x = 8y e partial vpartial y = 8x + 5 . Vamos lá:

Passo 4

As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função partial upartial x = partial vpartial y ser analítica, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos verificar isso com as derivadas que calculamos.

Passo 5

Vamos comparar as derivadas:
  1. e
    Aqui, vemos que , então a primeira equação está satisfeita.
  2. e
    Aqui também, , então a segunda equação também está satisfeita.

Passo 6

Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas (já que são polinômios em e ), podemos concluir que a função é analítica em todo o plano complexo .

Resposta

A função é analítica em todo o plano complexo .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
b) f(z)=4 z-6 barz+3
Calcule a função dada nos pontos indicados.
b) f(z)=e^z
(i) pi i / 4
Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
b) lim z 1-i 5 z^2-2 z+2z+1
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
d) f(z)=3 z-4+8 i2 z+i