Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
c)
c)
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular o limite
. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções de números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como substituir diretamente o valor que
está se aproximando e calcular os resultados no numerador e no denominador separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
nas expressões do numerador e do denominador. Isso porque, para funções polinomiais de números complexos, se o limite existe, a gente pode simplesmente fazer essa substituição direta.
Passo 3
Vamos calcular
quando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
quando
:
Passo 5
Substituindo no numerador:
Passo 6
Vamos agora calcular o denominador
quando
:
Oh, pera aí! O numerador e o denominador deram zero. Isso significa que a gente precisa tentar simplificar a expressão ou usar outra técnica, mas como o enunciado garantiu que o limite existe, vamos olhar mais de perto.
Passo 7
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar. Primeiro, fatoramos
:
E o denominador:
Não é tão direto, mas sabendo que o limite existe, podemos considerar que a simplificação nos leva a uma relação direta.
Passo 8
Como o limite existe e ambos numerador e denominador se anulam, concluímos que o limite é a relação entre as derivadas dos dois (como no conceito de L’Hôpital para números complexos):
Substituindo
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Expresse na forma a+ib
a)
a)
Expresse a função indicada na forma
.
a)
a)
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
c)
c)
Calcule a função dada nos pontos indicados.
b)
(i)
b)
(i)