Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
c) lim z 1+i z^2-2 z+2z^2-2 i

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular o limite . Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções de números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como substituir diretamente o valor que está se aproximando e calcular os resultados no numerador e no denominador separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por nas expressões do numerador e do denominador. Isso porque, para funções polinomiais de números complexos, se o limite existe, a gente pode simplesmente fazer essa substituição direta.

Passo 3

Vamos calcular z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i quando :

Passo 4

Agora, vamos calcular 2z = 2(1 + i) = 2 + 2i quando :

Passo 5

Substituindo no numerador:
z^2 - 2z + 2 = 2i - (2 + 2i) + 2 = 2i - 2 - 2i + 2 = 0

Passo 6

Vamos agora calcular o denominador z^2 - 2i = 2i - 2i = 0 quando :
Oh, pera aí! O numerador e o denominador deram zero. Isso significa que a gente precisa tentar simplificar a expressão ou usar outra técnica, mas como o enunciado garantiu que o limite existe, vamos olhar mais de perto.

Passo 7

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar. Primeiro, fatoramos z^2 - 2z + 2 = (z - 1)^2 + 1 :
z^2 - 2i
E o denominador:
Não é tão direto, mas sabendo que o limite existe, podemos considerar que a simplificação nos leva a uma relação direta.

Passo 8

Como o limite existe e ambos numerador e denominador se anulam, concluímos que o limite é a relação entre as derivadas dos dois (como no conceito de L’Hôpital para números complexos):
lim z 1+i z^2-2 z+2z^2-2 i = 2z - 22z
Substituindo 2(1 + i) - 22(1 + i) = 2 + 2i - 22 + 2i = 2i2 + 2i = i1 + i :
i(1 - i)(1 + i)(1 - i) = i - i^21 - i^2 = i + 11 + 1 = 1 + i2
Multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Expresse na forma a+ib
a) e^1+5 pi6 e^-1-pi3 i
Expresse a função indicada na forma f(z)=u+i v.
a) f(z)=7 z-9 i barz-3+2 i
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
c) f(z)=(2 z-1 / z)^6
Calcule a função dada nos pontos indicados.
b) f(z)=e^z
(i) pi i / 4