Calcule e para a função definida por partes. A seguir, esboce o gráfico da função e descreva o domínio e a imagem. a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os valores da função para , e . A função dada é definida por partes, ou seja, ela tem regras diferentes dependendo do valor de . Vamos precisar entender como a função se comporta em cada intervalo para calcular esses valores e depois esboçar o gráfico, além de determinar o domínio e a imagem da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Olhando para a definição da função: Como , usamos a primeira parte da função: . Calculando:

Passo 3

Agora vamos calcular . Observamos novamente a definição da função. Como , usamos a segunda parte da função: . Então:

Passo 4

Por último, vamos calcular . Como , seguimos com a segunda parte da função: . Assim:

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A função é definida por duas partes: 1. Para , é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima. 2. Para , é uma linha reta. No ponto de transição , verificamos que: E pela primeira parte da função, se se aproximar de 0 pela esquerda: Isso indica que há uma descontinuidade do tipo salto em .

Passo 6

Vamos determinar o domínio e a imagem da função. - **Domínio**: São todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, a função está definida para todos os reais, já que não há restrições: í - **Imagem**: São todos os valores possíveis que pode assumir. Para , sempre será maior ou igual a 2. Para , pode assumir qualquer valor maior ou igual a 0. Portanto, combinando as duas partes:

Resposta

O gráfico da função é uma parábola para e uma linha reta para , com uma descontinuidade no ponto . O domínio da função é e a imagem é .

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