Calcule e para a função definida por partes. A seguir, esboce o gráfico da função e descreva o domínio e a imagem.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os valores da função para , e . A função dada é definida por partes, ou seja, ela tem regras diferentes dependendo do valor de . Vamos precisar entender como a função se comporta em cada intervalo para calcular esses valores e depois esboçar o gráfico, além de determinar o domínio e a imagem da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Olhando para a definição da função:
Como , usamos a primeira parte da função: .
Calculando:
Passo 3
Agora vamos calcular . Observamos novamente a definição da função. Como , usamos a segunda parte da função: .
Então:
Passo 4
Por último, vamos calcular . Como , seguimos com a segunda parte da função: .
Assim:
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A função é definida por duas partes:
1. Para , é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima.
2. Para , é uma linha reta.
No ponto de transição , verificamos que:
E pela primeira parte da função, se se aproximar de 0 pela esquerda:
Isso indica que há uma descontinuidade do tipo salto em .
Passo 6
Vamos determinar o domínio e a imagem da função.
- **Domínio**: São todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, a função está definida para todos os reais, já que não há restrições:
- **Imagem**: São todos os valores possíveis que pode assumir. Para , sempre será maior ou igual a 2. Para , pode assumir qualquer valor maior ou igual a 0. Portanto, combinando as duas partes:
Resposta
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