Calcule
e
para a função definida por partes. A seguir, esboce o gráfico da função e descreva o domínio e a imagem.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos os valores da função
para
,
e
. A função dada é definida por partes, ou seja, ela tem regras diferentes dependendo do valor de
. Vamos precisar entender como a função se comporta em cada intervalo para calcular esses valores e depois esboçar o gráfico, além de determinar o domínio e a imagem da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Olhando para a definição da função:
Como
, usamos a primeira parte da função:
.
Calculando:
Passo 3
Agora vamos calcular
. Observamos novamente a definição da função. Como
, usamos a segunda parte da função:
.
Então:
Passo 4
Por último, vamos calcular
. Como
, seguimos com a segunda parte da função:
.
Assim:
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A função é definida por duas partes:
- Para
, é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima. - Para
, é uma linha reta.
No ponto de transição
, verificamos que:
E pela primeira parte da função, se
se aproximar de 0 pela esquerda:
Isso indica que há uma descontinuidade do tipo salto em
.
Passo 6
Vamos determinar o domínio e a imagem da função.
- Domínio: São todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, a função está definida para todos os reais, já que não há restrições:
- Imagem: São todos os valores possíveis que
pode assumir. Para , sempre será maior ou igual a 2. Para , pode assumir qualquer valor maior ou igual a 0. Portanto, combinando as duas partes:
Resposta
O gráfico da função é uma parábola
para
e uma linha reta
para
, com uma descontinuidade no ponto
. O domínio da função é
e a imagem é
.