Calcule integralC F d r ao longo da curva C. (Ex 37 a 40)
F (x, y)=x^2 y i+4 j
C: r(t)=e^t i+e^-t j (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que envolve cálculo de campos vetoriais. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de F cdot dr ao longo da curva C. Para isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a derivada dessa parametrização e depois integrar o produto escalar entre o campo F e a derivada da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parametrização da curva C. Ela é dada por:
r(t) = e^t i + e^-t j onde 0 <= t <= 1
Isso significa que, à medida que t varia de 0 a 1, a curva traça um caminho no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é dr/dt. Isso é importante porque dr aparece na integral de linha:
drdt = ddt(e^t i + e^-t j) = e^t i - e^-t j

Passo 4

Em seguida, precisamos expressar o campo vetorial F(x, y) em termos da parametrização r(t). Substituindo x = e^t e y = e^-t na expressão de F:
F(e^t, e^-t) = (e^t)^2 cdot e^-t i + 4 j = e^t i + 4 j

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre F(r(t)) e dr/dt:
F cdot drdt = (e^t i + 4 j) cdot (e^t i - e^-t j) = e^t cdot e^t + 4 cdot (-e^-t) = e^2t - 4e^-t

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado de t = 0 a t = 1 para encontrar o valor da integral de linha:
integral0^1 (e^2t - 4e^-t) dt
Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^1 e^2t dt - 4 integral0^1 e^-t dt

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Para integral e^2t dt, a antiderivada é 12e^2t.
  2. Para integral e^-t dt, a antiderivada é -e^-t.
Aplicando os limites de 0 a 1:
[12e^2t]0^1 - 4 [-e^-t]0^1 = (12e^2 - 12) - 4 (-e^-1 + 1)
Simplificando:
12e^2 - 12 + 4e^-1 - 4

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é:
12e^2 + 4e^-1 - 92

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