Calcule ao longo da curva C. (Ex 37 a 40)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que envolve cálculo de campos vetoriais. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de ao longo da curva . Para isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a derivada dessa parametrização e depois integrar o produto escalar entre o campo e a derivada da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parametrização da curva . Ela é dada por:
Isso significa que, à medida que varia de 0 a 1, a curva traça um caminho no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso é importante porque aparece na integral de linha:

Passo 4

Em seguida, precisamos expressar o campo vetorial em termos da parametrização . Substituindo e na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado de a para encontrar o valor da integral de linha:
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Para , a antiderivada é .
  2. Para , a antiderivada é .
Aplicando os limites de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é:

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a)
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