Calcule
ao longo da curva C. (Ex 37 a 40)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que envolve cálculo de campos vetoriais. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de
ao longo da curva
. Para isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar a derivada dessa parametrização e depois integrar o produto escalar entre o campo
e a derivada da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parametrização da curva
. Ela é dada por:
Isso significa que, à medida que
varia de 0 a 1, a curva traça um caminho no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso é importante porque
aparece na integral de linha:
Passo 4
Em seguida, precisamos expressar o campo vetorial
em termos da parametrização
. Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado de
a
para encontrar o valor da integral de linha:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Para
, a antiderivada é . - Para
, a antiderivada é .
Aplicando os limites de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
Calcule
e
para a função definida por partes. A seguir, esboce o gráfico da função e descreva o domínio e a imagem.
a)
a)
Use uma integral de linha para calcular a área de superfície. (Ex 51 e 52)
A superfície que se estende para cima desde o semicírculo no plano
até a superfície
.
A superfície que se estende para cima desde o semicírculo