( ) Mostre que essa função não tem uma assíntota oblíqua.
Na verdade, essa função tem uma assíntota parabólica na forma . A seguir, vamos encontrá-la de três formas diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que uma certa função não possui uma assíntota oblíqua. Na verdade, essa função tem uma assíntota parabólica na forma . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas oblíquas e parabólicas, e como identificá-las em funções. Vamos seguir passo a passo para encontrar essa assíntota de três maneiras diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma assíntota oblíqua. Uma assíntota oblíqua é uma reta que a função se aproxima quando tende ao infinito ou menos infinito, mas que não é horizontal nem vertical. Para que uma função tenha uma assíntota oblíqua, o grau do numerador deve ser exatamente um a mais que o grau do denominador.
Passo 3
No entanto, no nosso caso, a função tem uma assíntota parabólica. Isso acontece quando o grau do numerador da função é dois a mais que o grau do denominador. Ou seja, se a função for do tipo , onde o grau de é dois a mais que o de , então a assíntota será uma parábola na forma .
Passo 4
Para encontrar a assíntota parabólica, vamos usar a divisão polinomial. Dividimos o numerador pelo denominador até obter um polinômio de grau zero no resto. O quociente será a nossa assíntota parabólica .
Passo 5
Vamos realizar a divisão polinomial passo a passo. Suponha que a função seja . Dividindo por , o quociente será o polinômio da nossa assíntota parabólica.
Passo 6
Após realizar a divisão, encontramos que:
Portanto, a assíntota parabólica da função é .
Resposta
A função não possui uma assíntota oblíqua, mas possui uma assíntota parabólica na forma .