( 0,3(3) pts ) Mostre que essa função não tem uma assíntota oblíqua.
Na verdade, essa função tem uma assíntota parabólica na forma y = a x^2 + b x + c. A seguir, vamos encontrá-la de três formas diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que uma certa função não possui uma assíntota oblíqua. Na verdade, essa função tem uma assíntota parabólica na forma . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas oblíquas e parabólicas, e como identificá-las em funções. Vamos seguir passo a passo para encontrar essa assíntota de três maneiras diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma assíntota oblíqua. Uma assíntota oblíqua é uma reta que a função se aproxima quando tende ao infinito ou menos infinito, mas que não é horizontal nem vertical. Para que uma função tenha uma assíntota oblíqua, o grau do numerador deve ser exatamente um a mais que o grau do denominador.

Passo 3

No entanto, no nosso caso, a função tem uma assíntota parabólica. Isso acontece quando o grau do numerador da função é dois a mais que o grau do denominador. Ou seja, se a função for do tipo , onde o grau de é dois a mais que o de , então a assíntota será uma parábola na forma .

Passo 4

Para encontrar a assíntota parabólica, vamos usar a divisão polinomial. Dividimos o numerador pelo denominador até obter um polinômio de grau zero no resto. O quociente será a nossa assíntota parabólica .

Passo 5

Vamos realizar a divisão polinomial passo a passo. Suponha que a função seja . Dividindo por , o quociente será o polinômio da nossa assíntota parabólica.

Passo 6

Após realizar a divisão, encontramos que:
Portanto, a assíntota parabólica da função é .

Resposta

A função não possui uma assíntota oblíqua, mas possui uma assíntota parabólica na forma .

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