Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
integralc(y cdot z) cdot d x-(x cdot z) cdot d y+(x cdot y) cdot d z
C: x=e^t, y=e^3 t, e^-t (0 <= t <= 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de linha! A gente precisa calcular a integral
integralC (y cdot z) , dx - (x cdot z) , dy + (x cdot y) , dz
ao longo da curva x = e^t, y = e^3t, z = e^-t para 0 <= t <= 1 parametrizada por:
Vamos precisar usar a parametrização da curva e substituir na integral para resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de linha parametrizada, a gente substitui x = e^t, y = e^3t, z = e^-t e as diferenciais dxdt = e^t, dydt = 3e^3t, dzdt = -e^-t em termos de dx = e^t , dt, dy = 3e^3t , dt, dz = -e^-t , dt .
Dada a parametrização:
Vamos calcular as derivadas em relação a :
Então, as diferenciais são:

Passo 3

Agora, vamos substituir integral0^1 [ y z cdot dx - x z cdot dy + x y cdot dz ] na integral original:
y z = e^3t cdot e^-t = e^2t x z = e^t cdot e^-t = 1 x y = e^t cdot e^3t = e^4t
Substituindo:
integral0^1 [ e^2t cdot e^t , dt - 1 cdot 3e^3t , dt + e^4t cdot (-e^-t) , dt ]
Então, a integral fica:
integral0^1 [ e^3t - 3e^3t - e^3t ] dt = integral0^1 (-3e^3t) , dt
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral -3e^3t , dt = -3 cdot e^3t3 + C = -e^3t + C em relação a -e^3t |0^1 = -e^3(1) + e^3(0) = -e^3 + 1 :
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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